基于能量泛函的开口矩形板自由振动特性分析

李 凯， 何书韬， 吴国民， 毛艺达， 李天匀

(1. 中国舰船研究设计中心， 武汉 430064; 2. 华中科技大学 船舶与海洋工程学院， 武汉 430074)

基于能量泛函的开口矩形板自由振动特性分析

李 凯1， 何书韬1， 吴国民1， 毛艺达2， 李天匀2

(1. 中国舰船研究设计中心， 武汉 430064; 2. 华中科技大学 船舶与海洋工程学院， 武汉 430074)

基于能量泛函方法，建立了开口矩形板自由振动分析模型。计算了开口矩形板的固有频率和振型函数。在处理开口问题时，利用对称性和反对称性只研究四分之一块板，并将其分割成三个区域，通过位移连续条件建立区域之间的联系，并用梁函数模拟位移场，最终得到整体能量泛函。对其变分后得到广义特征值矩阵方程，求解方程可以求出各阶固有频率。结果对比表明本文方法的准确性，为在方案设计阶段快速分析开口矩形板振动及其相关问题提供了理论基础。

开口矩形板； 梁函数； 能量变分； 固有频率

含开口矩形板在工程领域中有广泛地应用，大量的被应用在航空、船舶、机械制造等领域。尤其在船舶结构上。在保证船体强度和刚度的前提下，保证船舶结构的稳定性，尽量减轻船体重量，提高经济效益，往往在船舶板材上设置众多的开口结构。而这些开口改变了船舶原有的振动特性，对板架固有频率的影响是不容忽视的。有关板的自由振动问题，国内外学者作了很多基础研究。Leissa[1]对不同边界条件下经典Voigt解进行了讨论，给出了自由振动的固有频率解。曾子平等[2]利用拉格朗日乘子法给出了加筋矩形板的自由振动分析。Shastry[3]对任意方向的加筋矩形板的自由振动进行了研究。彭林欣[4]将加筋板视为平板和筋条的集合，用最小二乘无单元分析对加筋板进行了自由振动分析。戈海玉[5]利用有限元法和边界元法混合分析，计及剪切的影响，对板的自由振动进行了计算。叶开浣等[6]给出了四边固支的复合材料层合板的自由振动的解法。滕兆春等[7]基于二维弹性理论和Hamilton原理做了FGM圆环板的面内自由振动分析的相关研究。但对于开口板，国内学者的理论解法研究相对较少。Sivasubramonian等[8]用有限元方法研究了纵向加筋方板对称开口的自由振动特性。Boay[9]用有限元方法研究了不同的参数(孔的尺寸、边界条件等)对板的自由振动的影响。Laura等[10]处理了旋转弹性边界的矩形板上存在自由边界的矩形、圆孔的问题。Huang等[11]对带多种不同形状的孔的矩形板的自由振动特性进行了研究。Paramasivam[12]对矩形板进行分割，来处理板开口的问题。Mundkur等[13]使用正交多项式函数利用瑞利-里兹法分析了开口板的振动。

本文采用能量变分法，计算了对称边界中心开口矩形板的固有频率。利用结构及边界的对称性，仅研究中心开口矩形板的1/4区域，从而对问题进行简化。本文考虑了正对称和反对称两种对称边界的情况，使得到的模态振型更加全面。对开口矩形板的1/4区域进行研究。在开口处沿开口的延长线将把开口矩形板分割成3个区域，每个区域都为规则的矩形板，利用分割后的相邻板位移的连续性条件，表示出各块板之间位移函数中系数之间的关系。把位移函数代入板的应变能和动能和方程中，运用变分法，应用应变能和动能的变分之差为零的条件，建立中心开口矩形板的自由振动方程。令系数矩阵的行列式为0，对结构的固有频率进行求解，并通过提取出系数矩阵的特征向量，绘制出开口板自由振动的固有振型。并与经典的FEM方法的结果进行对比，结果表明本文方法是准确有效的。

1 理论分析

如图1所示，开口矩形板的长度为a，宽度为b，矩形开口位于板的中心，开口的长度为a1，宽度为b1，板厚为h，利用对称性，将四分之一的薄板分为3个区域。

由于板振动时两个正交方向的振型和梁函数的形状相对比较相近，因此每个区域的位移(挠度)函数用如下的一系列的梁函数来表达：

(1)

(2)

不妨设：

(3)

(4)

可以构造转换矩阵[A]，使得{C′[i]}=[A]{C[i]}

(5)

(6)

图1 开口矩形板示意图

(7)

(8)

(9)

(10)

在1,2板的交线上选取等距且均分交线长度的P1个点(P1=N)，即把交线分为N+1等份，并利用1,2板的交线处的位移相等条件：

(12)

把上述方程写成矩阵的形式：

(13)

(14)

在2,3板的交线上选取等距且均分交线长度的P2个点(P2=M)，即把交线分为M+1等份，并利用2,3板的交线处的位移相等条件：

(16)

把上述方程写成矩阵的形式：

(17)

(19)

fm(x*)=Asinkx*+Bcoskx*+Csinhkx*+Dcoshkx*

(20)

gm(y*)=Asinky*+Bcosky*+Csinhky*+Dcoshky*

(21)

式中，x*,y*是无因次化坐标。

各个不同边界需满足的条件，如表1所示。

表1 不同边界下的条件

表1中，C、F、SS、Sym、Asym分别代表固支边界条件、自由边界条件、简支边界条件、对称边界条件和反对称边界条件。

对于各向同性的简谐振动板来说，仅考虑弯曲变形，其应变能为

(22)

其动能为

(23)

(24)

其中，

(25)

(26)

(27)

2 数值计算

本文通过两个算例，分别说明了本文方法在计算开口大小不同的矩形板时的适用性和计算不同边界长条形板各阶固有频率时的准确性。其中，C-F边界表示板的外边界的边界条件为固支，内孔的边界是自由；SS-SS边界表示板的外边界的边界条件为简支，内孔的边界也是简支。

在以下两个算例中，中心开口方板的材料参数的取值如下：材料密度ρ=7 850 kg/m3，泊松比μ=0.3，弹性模量E=2.1×1011Pa。中心开口方板的几何参数的取值如下：算例1中板长a=5 m，板宽b=5 m，板厚h=0.02 m；算例2中板长a=10 m，板宽b=5 m，板厚h=0.02 m，孔长a1=2.5 m，孔宽b1=2.5 m。

表2 C-F边界下不同开口大小方板的首阶固有频率

算例1 C-F边界下不同开口大小方板的振动分析:

本算例用本文方法和有限元方法分别计算了C-F边界不同开口的方板的首阶固有频率，以FEM方法为基准，计算了相对误差，并进行了对比。在使用能量法时，由于板的应变能仅计入了弯曲的影响，忽略了剪切和转动惯量的影响，故计算得到的刚度偏小，故比FEM方法偏小。从另一个方面来讲，FEM方法使用了特定的形状函数，使得单元边界处的变形及其导数的连续性也受到限制，从而使单元之间连接刚度增加，计算得到的固有频率偏大。因此，本文方法计算的固有频率从整体上比有限元方法略小。

计算结果表明：该方法的计算误差比较小。从计算表格可以进一步看出，随着开口大小的增加，结构的首届固有频率整体上也是不断增加的。本文方法可以计算的开口范围比较大，具有较强的适用性。

算例2 C-F和SS-SS边界下开口矩形板的振动分析:

在计算开口矩形板时，充分利用其对称性条件，将其对称条件分成四种情况进行讨论。不妨设平行于y轴和x轴的四种对称边界分别是：正对称-正对称(类别1)、正对称-反对称(类别2)、反对称-正对称(类别3)、反对称-反对称(类别4)，并分别计算其固有频率，得到表3、表4。

表3 C-F边界下开口矩形板的各阶固有频率

由此可见，对于C-F和SS-SS边界长条形板前10阶固有频率和经典的FEM方法差别不大，计算准确度较高。

由以上对比图可以得到，本文方法经典的FEM方法的振型的吻合度也非常好，进一步证明了本文方法的正确性。

表4 SS-SS开口矩形板的各阶固有频率

仿真分析振型(FEM)本文方法振型

图2 C-F开口矩形板首阶振型对比图(类别1)

图3 C-F开口矩形板首阶振型对比图(类别2)

Fig.3 The first set mode with the 2nd category of rectangular plate at C-F boundary with an opening

从以上数据可以看出，本方法所设的梁函数和真实的位移函数十分接近，故即使在取得的梁函数的数目比较少时，也可以得出比较精确地固有频率，并得到比较准确、比较全面的模态振型。

3 总 结

仿真分析振型(FEM)本文方法振型

图4 C-F开口矩形板首阶振型对比图(类别3)

图5 C-F开口矩形板首阶振型对比图(类别4)

Fig.5 The first set mode with the 4th category of rectangular plate at C-F boundary with an opening

本文基于能量变分法，使用梁函数，对中心开口矩形板进行了自由振动特性分析。利用对称性，在对称边界处考虑正对称和反对称两种情况，对四分之一块板进行研究，对问题进行简化。并把这四分之一块板分割成三个区域，利用位移连续条件建立三个区域之间的位移函数转换关系。将位移函数代入能量方程中，得到整体的能量泛函，再对其求变分，求解频散特性方程，得到结构各阶的固有频率。

本文以C-F边界下不同大小开口方板和C-F 、SS-SS开口矩形板为例，给出了算例验证，和经典的FEM方法的仿真模型进行对比，该方法的准确性良好，计算出的固有频率和固有振型均比较吻合，在国内对研究开口板振动问题的较少的前提下，为解决板开口问题提供了新的思路。

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The free vibration characteristics analysis of rectangular plate with central opening using energy functional method

LI Kai1, HE Shutao1, WU Guomin1, MAO Yida2, LI Tianyun2

(1. China Ship Development and Design Center， Wuhan 430064， China;2. School of Naval Architecture and Ocean Engineering， Huazhong University of Science and Technology， Wuhan 430074， China)

This article based on the energy functional method to establish a free vibration analysis model and calculate the natural frequency of rectangular plate with an opening. When considering the opening, only a quarter of the plate is available by using symmetry and antisymmetry conditions，which is divided into three regions. Then find connections between regions through continuity conditions of displacement. Displacement field is simulated by beam functions and get the overall energy function. After that，natural frequencies are obtained by solving dispersion characteristic equations yielding by variational method. The results show that the accuracy of the method by comparison. The method provides theoretical foundation on the issue of vibration of rectangular plate with opening and problem related.

rectangular plate with opening; beam functions; energy variational method; natural frequency

2015-03-24 修改稿收到日期：2016-04-28

李凯 男，博士，1983年生

U663.4

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.11.025