浅谈微元法在单棒切割中的运用

栾云琦

摘要：在高中阶段，学习方法至关重要，是学生取得高效学习的一把钥匙，特别是在高中理科的各学科中，物理学科是相对较难学习的学科，很多学过高中物理的同学，总有这样的疑问：“上课听得懂，听得清，就是在课下做题时不会。”这是个普遍的问题，特别值得同学们认真研究。本文对高中物理的学习方法，特别是对微元法进行了有益的探索。

关键词：高中物理；学习方法；微元法

微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，使用微元法可以将复杂的物理过程简单化。在单棒切割这种集磁场学、力学、运动学等为一体的模型中，更能体现它的微妙作用。接下来以两例题来说明。

[例1]如图所示，两平行且无限长光滑金属导轨MN、PQ与水平面的夹角θ=30°，两导轨之间的距离为L=1m，两导轨M、P之间接入电阻R=0.2Ω的定值电阻，导轨电阻不计，在abcd区域内有一个方向垂直于两导轨平面向下的磁场Ⅰ，磁感应强度B0=1T。磁场的宽度x1=1m，在cd连线以下区域有一个方向也垂直于导轨平面向下的磁场Ⅱ，磁感应强度B1=0.5T。一个质量为m=1kg的金属棒垂直放在金属导轨上，与导轨接触良好，金属棒的电阻r=0.2Ω，若金属棒在离ab连线上端x0处自由释放，则金属棒进入磁场Ⅰ恰好做匀速直线运动。金属棒进入磁场Ⅱ后，经过ef时系统达到稳定状态，cd与ef之间的距离x2=8m（g取10m/s?）。

（1）求金属棒从开始静止到磁场Ⅱ中达到稳定状态这段时间中电阻R产生的热量QR。

（2）求金属棒从开始静止到在磁场Ⅱ中达到稳定状态所经过的时间t。

解析：

本题题干较长，涉及多个运动阶段及物理量，必须要有清晰的思路和缜密的推导。针对本题，主要解题思路就是分阶段讨论，将每一阶段金属棒受力情况、运动状态都分析清楚，最后总体把握物体的运动。

本题第⑴问比较简单，主要考查学生对基础知识的灵活运用；第⑵问难度比较大，主要考查学生对数学与物理知识的综合运用。

（1）区域Ⅰ中稳定状态受力分析（如图区域Ⅰ）：

mg

区域Ⅰ 区域Ⅱ

mgsinθ=B0IL①

②

①②联立得

v1=2m/s

区域Ⅱ中稳定状态受力分析（如图区域Ⅱ）：

mgsinθ=B1IL ③

④

③④联立得

v2=8m/s

求解电热或用电热公式 或用能量守恒，本题中热量的产生涉及多个运动状态，I、U、t均为待求量，用电热公式未免舍近求远，故运用能量守恒原理运算，用动能定理对电路中产生的总热量进行求解。

= mgsinθ（x1+x2）-Q ⑤

Q=15J

本题需要求解的是定值电阻产生的热量而不是总电路产生的热量，根据定值电阻与总电阻之间关系易得

QR= Q=7.5J

（2）求动力时间，要把运动分成三部分：第一部分是匀加速直线运动，根据运动学公式和受力分析易得：

v1=at1 ⑥

ma=mgsinθ⑦

⑥⑦联立得

t1=0.4s

第二部分是匀速运动，由第（1）问，得

v1=2m/s

第一、二部分的时间都容易求得，考查学生能力的就是第三部分时间求解。

一般来说，单棒切割中求解时间与速度的关系，电学中很少有涉及时间的公式（W=Pt Q=Pt=I2Rt= t），此情境中均不适用，所以我们要另寻它路。分析题中的已知量及其特点，重力为恒力，棘手的是与速度变化有关的安培力，此力的时刻变化往往使学生思路尽失。然而正是与速度有关、时刻变化这两个特点，再加之与题中所求量时间的联想推理使思路豁然开朗。

运用动量定理

（mgsinθ-

⑨⑩两式联立化简得

mgsinθt3 - = mv2-mv1

公式中有v与t3两个未知量，且v是一个时刻发生变化的量，我们很难通过运动学规律求出变化公式，这时就要通过微元法来求解。我们可以联想到在v-t图象中，物体通过的位移是图象与x轴所围成图形的面积，所以尽管v是一个变量，vt3=x2总是成立的。

将vt3=x2代入，有

解得t3=2.2s

t总=t1+t2+t3=3.1s

[例2]如图（甲）所示，左侧接有定值电阻R=2Ω的水平粗糙导轨处于垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度B=1T，导轨间距为L=1m。一质量m=2kg，阻值r=2Ω的金属棒在拉力F作用下由静止开始从CD处沿导轨向右加速运动，金属棒的v—x图象如图乙所示，若金属棒与导轨间动摩擦因数μ=0.25，则从起点发生s=1m位移的过程中（g=10m/s2）。

A.金属棒克服安培力做的功W1=0.25

B.金属棒克服摩擦力做的功W2=5J

C.整个系统产生的总热量Q=5.5J

D.拉力做的功W=9.25J

A项

微元法：通过

F1=BIL②

W1= F1x③

①②③联立得

待解式中有2个未知量，根据解题思路中“化多变为不变”的原则，再根据已给的v—x图象，容易得出从起点发生x=1m的过程中v与x的乘积即为图象与x轴围成的面积。

B项

考查的问题比较基础，摩擦力为恒力，根据W=Fx易得

W2=μmgx=5J

C項

整个系统产生的热量即为金属棒克服摩擦力做的功与克服安培力做的功之和

Q= W1+ W2=5.25J

D项

由于只知道拉力F的方向，根据受力分析等方法都不易得出拉力F的变化情况，所以用动能定理进行求解：

mv?-0=- W2- W1+W

得 W=9.25J

由以上两道例题我们得到启示：在单棒切割的题目中，如出现多个未知量难以求解的情况，可尝试使用微元法，化多变为不变，化未知为已知，使解答简便顺畅。高中物理题型题容量大，通常涉及几大版面的知识，如例1题设即涵盖运动学、力学、电学、磁场学的知识，所以掌握必要的解题手段是十分有意义的，微元法就是十分有效的手段之一。通过借鉴数学中的积分思想，并将其运用到解决物理问题上，从而形成在实际物理问题中有极大意义的微元法，不仅能够令各种物理量之间繁杂的相互关系变得一目了然，还可使运用最基本的公式来解决复杂繁琐的物理题，是中学生必备的解题技能之一。