山重水复疑无路，柳暗花明又一村——例谈通过追问培养学生的解题能力

江苏省昆山经济技术开发区高级中学 刘胜男

山重水复疑无路，柳暗花明又一村
——例谈通过追问培养学生的解题能力

江苏省昆山经济技术开发区高级中学 刘胜男

追问，简言之就是追根究底地发问。对于数学教学来说，追问就是基于教学目标设置一系列问题，然后进行由此及彼、由浅入深的追问，以形成严密有序、节奏井然的课堂教学流程。

追问的优势是显而易见的，它可以启发学生再思考、培养学生发现问题，也可以通过追问的层层引导，培养学生的解题能力。在追问过程中，学生可以自然形成探究问题的意识，实现对学生高层思维能力的培养。

下面以两个实例，谈谈追问对学生解题能力的培养。

这道题目有一定难度，大多数学生刚读到此题时没什么思路，选择了放弃，部分进行了尝试的学生，也觉得解题有些障碍。在试卷讲评过程中，我通过追问让学生自己发现并体会了解题的过程。

师：大家对本题感到没有思路，那么再次审题，在△ABC中，给出了两个条件都是什么条件？

生：边长。

师：那么可以考虑什么办法？哪个定理公式涉及边长？

生：余弦定理。

师：那么尝试一下。

这是第一次追问。通过追问，学生从没有思路到发现了一条可以尝试执行的思路。

（学生进行运算，稍后投影两学生运算过程）

师：两位同学都选择了余弦定理，唯一的区别是选择的角不同。那么先考虑一下，如何表示面积？

师：边长是否已知或者能表示？

生：可以。

师：那么用正弦能表示吗？怎么表示？

生：正弦、余弦平方和为1。

师：刚才两位同学表示的方法相同，有没有哪一个更好？（第二次追问）

生：第一个更好。因为要平方计算，第一个简单。

师：非常好。这就要求大家在运算之前先考虑一下，一样的方法，是否可以做出选择哪个计算更简便。

第二次追问，引领学生思考，在可解决的途径中选择更优。

分子可以看成以x2为自变量的二次函数。

此处大部分同学不能进行下去，但我所期待引领学生达到的思考过程已经比较充分了。

本题的解决虽已完毕，但我决定抓住机会，再引申一下，让学生透过表面现象找出更加深刻的本质，从而寻求出更好的解决办法。

于是，我进行第三次追问。

师：本题解决完毕后回顾一下，开始时入手较难，选择了余弦定理后，计算较为麻烦。那么再次审题，我们是否能从其他角度来尝试解决这道题目？

师：求△ABC面积的最大值，又已知底边长AB=2，即求什么的最大值？

生：高的最大值。

师：高应该怎么表示？

生：不知道……

师：高又可以称作什么？

生：……

师：也就是，从顶点到底边的______？

生：距离。

师：非常好。直接求距离仍旧困难，那么我们是否可以把这段距离看成点到直线的距离？这样，我们需要做什么？

生：建系。

学生叙述：以AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系。则A(-1，0)，B(1，0)，设C(x，y)，化简有x2+y2-6x+1=0。

通过第三次追问，让学生体会到本题可以引申发现的内在本质，即阿波罗尼斯圆。通过这个简单例子的示范，既能对经典的阿波罗尼斯圆产生较为深刻的印象，也能发散学生的思维，拓宽思路，在面对一个难以入手的问题时，思考是如何逐步发现条件着手解决的，又是如何开拓条件使问题得到简易解决的。

例2如图，海上有A，B两小岛相距10km，船O看A岛和B岛所成的视角为60°，从船O上派一只小艇沿BO方向驶至C处进行作业，且OC=BO，设AC=xkm。

（2）晚上小艇在C处发出一道光线照射A岛，B岛至光线CA的距离为BD，求BD的最大值．

难点在于第二小问。为了让学生自己发现解决途径，我选择了追问的方法。

师：第二问难住了大家。那么思考一下，想求BD的最大值，如何表示BD呢？你是否有什么想法？

生1：我想利用题目中的直角三角形，用边和角的三角函数表示BD。

师：好。你想怎么表示？

师：那么其他同学能帮助他吗？

生2：sin∠BAD=sin∠BAC，然后在△ABC中，可以看看正弦定理行不行。

师：大家尝试写一下。

师：又进行不下去了？sinC怎么处理？

师：BC呢？

生4：BC=2OB。

师：非常好。为什么不用OC？

生4：前面求出是OA与OB的关系，sinC也是用OA表示，用OB可能更好。

师：非常好。大家整理一下。

师：接下来如何求最值呢？

生：可以求导。

学生运算完毕。

师：刚刚进展不下去时，选择向第一小问中已求出的关系式靠拢，虽然过程艰苦，但还是成功地解决了问题。回顾一下我们的解题过程，有没有哪里还可以简化的？

生5：BD可以直接用BCsinC表示，在大直角三角形里。中间可以省掉很多步骤。

师：非常好！通过这一步简化，我们也能发现，有时候未必直接用上题中最简单的那个长度10就可以让过程最简，还需要看看下面我们问题的需要。还有补充吗？

生6：最后还可以分离一下，利用函数单调性求最值，比直接求导运算简单。

师：很好！

学生没有补充了。此时我继续追问。

师：我们虽然解决了这个问题，但是中间也经过了很多的尝试和运算，过程略麻烦。能不能换个视角？我们从头来看，求BD距离，除了像上面那样直接表示BD，还有什么别的思路吗？

师：距离BD还可以看成什么？

生7：难道要建系？

师：可以考虑，但是题中的条件不是非常易用。

生8：距离也可以看成是高。

师：什么的高？

生8：△ABC，用AC做底，BD就是高了，而且AC=x，也算已知。

师：非常好！那么△ABC的面积还可以用其他方式表示吗？

生8：如果用BC做底，高可能不是很好算，要用相似。

这样马上就把面积表示出来了！

师：大家的回答都非常精彩！这样我们可以更加迅速、准确地计算出BD，求最值的方法同上。

师：通过大家的思考，我们发现了很多难题只要多次思考，根据条件和所求不断追问，启发自己，往往都能找到可操作的解决途径，不仅能解，还可以找到最优解。

我所尝试的追问，大家也可以不断尝试，在做题审题过程中自行不断追问，这样问题的解决之路会一点点展开。

正所谓，山重水复疑无路，柳暗花明又一村。

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