沟通联系 感悟思想 整体训练——“数与数的运算”总复习建议

◇彭永新

沟通联系 感悟思想 整体训练
——“数与数的运算”总复习建议

◇彭永新

“数与数的运算”是小学数学最基础的知识，内容较多。那么，如何引导学生把平时学习的内容加以梳理、归纳和提炼，帮助学生沟通数与数之间的联系，深化对数的意义和算理的理解呢？

一、沟通数的联系，突出数的本质

整数、小数、分数与百分数的意义和性质等知识的学习贯穿于整个小学阶段。学生在新知学习和学期复习中已建立了很多联系，对概念之间的区别和联系也有初步的认识。因此，在六年级总复习阶段，应引导学生从更高的层面进行全面的梳理，凸显知识的本质属性，形成网络结构，从而达到发展思维、温故而知新的复习目的。

1.紧扣“十进制计数法”整合整数、小数。

整数、小数的数位顺序表中，既有整数的计数知识，也有小数的计数知识，多数计数知识是相通且大同小异的，应该帮助学生形成有较高概括度的计数观念。教学时，建议学生先回忆整数、小数的意义和计数方法，可以用举例的方式说说什么是整数、小数，如3表示3个一，0.35表示百分之三十五等。

在简单回忆整数、小数知识的基础上，鼓励学生建构统一的计数方法。如让学生说说整数和小数的计数单位及相邻两个计数单位间的进率，并填写整数、小数的数位顺序表，使学生清楚地建构十进制计数法的本质：①相邻两个计数单位间的进率都是10；②“位值原则”，即哪一位上的数字是几，就表示几个相应的计数单位。在此基础上，再进一步复习整数、小数的读写、大小比较及求一个数的近似数的方法。

2.紧扣“倍数和因数”概念，整合“数的整除”相关概念。

有关倍数和因数的概念很多，联系紧密，但又容易混淆。复习时应紧紧抓住“倍数和因数”这两个相关联的生长点，引导学生将有关概念整理成图1的结构，使学生通过构造这个结构将数的整除相关概念有机地串联起来。

图1

3.紧扣“倍比关系”，连接分数、百分数与比。

分数、百分数和比都能表示一个数与另一个数的倍比关系，但它们也有不同，如，分数有时还能表示一个数量是多少，而百分数和比则不能。因此，复习时可以创设“等价”问题，鼓励学生自主构建分数、百分数与比之间的联系。

如出示“红花有4朵，黄花有5朵”的情境，请学生说明红花朵数与黄花朵数之间的关系。在学生用分数、百分数、比等不同形式表示两者之间关系后，引导学生对这些数进行重新审视，让学生尝试“换一种方式”说话，感受它们之间的共性，从而产生新的认识。

再如仅出示“白兔比黑兔多25%”这一条件，鼓励学生从不同角度描述白兔和黑兔只数之间的关系，体会分数、小数和百分数之间的共性，即分数、小数和百分数都可以表达两个数量之间的比，比是它们共有的特性，比的方式最能揭示数量间的本质，是直观明了的表达方式。

二、感悟数学思想，形成能力系统

数的运算涉及许多知识，主要有四则运算的意义、四则运算的方法、混合运算的顺序、运算律与简便计算等。在教学中，不能仅满足于学生能熟练、正确地“算”，还要按照课标提出的“四基”要求，用数学思想的魂来整合运算经验，提升运算技能，形成运算能力，发展核心素养。

1.在“变与不变”中，统整整数、小数的四则运算法则。

对于乘数、除数是一位数、两位数的运算法则的归纳整理，可以用题组的方式进行辨析，发现其中的“变”与“不变”，感受整数、小数四则运算的统一性。

如出示23×5、23×45、234×45，让学生说说：从两位数乘一位数的乘法到三位数乘两位数，法则有什么样的变化？能不能用同样的方法来归纳多位数乘多位数的法则？再如出示 234×5、23.4×5、2.34×0.5，从整数乘法到小数乘法，又有怎样的“变”和“不变”？通过比较使学生对法则的本质有清晰的认识，将整数、小数的乘法运算归结为相同的结构：从末位算起，满十进一等。

2.在“推理与转化”中，沟通分数与整数、小数的四则运算算理。

从表面来看分数的四则运算，与整数、小数的有很大差异，但其实质是相通的。如分数加减法强调的是相同单位的数进行加与减，这和整数、小数“相同数位相加减”是一回事儿。明白这一道理，计算就不再是简单的技能问题，而是一种思维推理，学生自然就会对分数加减法运算法则产生自觉“转化或类比”的思想意识。

3.在“按序与求简”中，优化四则混合运算能力。

对于四则混合运算的复习，重在运算顺序的整理和运算律的应用，选择合适的方法计算，是运算能力强的具体体现。

值得注意的是，在数的运算复习过程中，还要重视口算（心算）、估算以及用计算器计算等计算方式的有机补充，并将这些计算方式和笔算、简算统整为一个有机的整体（如图2），以形成科学运算的意识和能力。

图2

三、加强整体训练，提升数学素养

1.在“题组训练”中，厘清相似概念。

总复习阶段，知识繁多，练习必须精心巧妙地设计，可以将相似易混淆的知识编排为一组，抑或将前后有联系的知识编排在一起，使学生在一道题的练习中分辨是非、区分联系、串联整体知识。如出示下面各数：45%、、55%、128%，让学生选择填空。

（1）食堂运来一批大米，今天吃掉了（ ）。

（2）食堂运来一批大米，今天吃掉了（ ）吨。

（3）合唱队中男生人数是女生人数的（ ）。

这道题提供多个数让学生有选择地思考，思维的空间比较大。在选择合适的数据解决问题时，要充分考虑分数与百分数之间的关系，其中第（2）题只能选择分数，因为百分数只表示两个数之间的比率关系，而第（1）题和第（3）题都是表示比率关系，但又有区别，第（1）题不能超过1，第（3）题所有的数都适合。这道开放性的问题，能很好地帮助学生厘清分数、百分数之间的区别和联系。

2.在“一题多解”中，融合不同思路。

一题多解类的练习，能启发学生从不同的角度，用不同的方法去分析、解决同一问题。如，让学生用不同方法计算0.25×44。

解法1：0.25×4×11=1×11=11；

解法2：0.25×4+0.25×40=1+10=11；

解法3：用竖式计算；

……

对这些不同的解法（利用运算律计算、竖式计算和分数乘法运算）进行比较，将有助于沟通不同方法间的联系。

再如：把 2、3、9、10、13、16、25、33、45等9个自然数，按不同的标准分成两类，你有几种分法？这道题的思路有很多，可以按奇数、偶数来分；可以按是不是质数来分；可以按照是不是3的倍数、有没有因数5等来分。这样就可以将奇数与偶数、质数与合数、3的倍数及5的倍数等概念融为一体，反映出学生对“因数与倍数”这一内容的整体理解和应用水平。

3.在“多题一解”中开阔视野。

在运用“数和数的运算”解决简单实际问题的教学中，创设较复杂的问题情境，不仅可以帮助学生理解分数乘除法的意义，巩固对分数乘除计算方法的掌握，更重要的是可以提高学生分析问题、解决问题的能力。如出示：

如果仅解答第（2）题，学生往往会对耗油量和行驶路程之间关系的理解产生困惑，而通过解答第（1）题，让学生比较两道题的区别和联系，使学生借助时间与路程之间的关系，来类推汽车耗油量与行驶路程之间的数量关系，会很好地解决学生的困惑。

在分数、百分数应用题解决方法异同的比较中，帮助学生对不同情境下的问题解决进行有效的沟通融合，形成选择最佳思路的创新思维。可出示：

（2）菜场运来番茄300千克，黄瓜的质量是番茄的1.25倍，运来黄瓜多少千克？

（3）菜场运来一些番茄和黄瓜，番茄质量和黄瓜的比是4∶5。番茄是300千克，黄瓜有多少千克？

（4）菜场运来一些番茄和黄瓜，番茄的质量占两种蔬菜总质量的，番茄是300千克，黄瓜有多少千克？

这4道题，虽然表达方式不同，但都表示番茄和黄瓜质量间同样的数量关系。通过这组题的练习，不仅将各种实际应用问题做了很好的沟通，更重要的是可以通过转化，选择更合适的方法来解决问题。如对第（4）题的解答，可以先将“番茄的质量占两种蔬菜总质量的”转化为“番茄的质量∶黄瓜的质量=4∶5”或“黄瓜质量是番茄的”，然后直接用“”计算。这对开阔学生的视野，培养学生的创新性思维具有很高的价值。

（作者单位：江苏苏州工业园区星海小学）