用实际需要驱动学生数学思维

郁元顺

[摘 要] 数学学习需要思维的驱动，初中数学教学需要学生的思维参与，数学思维需要实际需要的驱动. 结合初中数学中的基本概念，通过问题情境与问题变式，来驱动学生不断发现新的数学概念的意义，是有效教学的重要途径.

[关键词] 数学学习；实际需要；数学思维

通常认为，数学是抽象的学科，数学学习更多的是符号及符号之间的运算. 这样的认识是正常的，因为数学就是研究数与形的科学，数是抽象的，形也是实际事物抽象的结果，因此可以说抽象是数学固有的属性. 但在实际教学中我们发现另外一种情形，那就是很多学生恰恰是因为数学的抽象才感觉到数学难学的. 这就造成了一个悖论：数学本身是抽象的，但学生却因为抽象而不喜欢数学学习. 如何化解这个悖论呢？笔者以为关键在于需要理清数学与数学学习的关系. 数学与数学学习是不一样的，数学是数学学习的内容，数学学习有着超越数学及數学研究本身的另外的需要. 对于初中数学教学而言，数学教学需要注重形象思维（这与初中学生的思维特征是一致的，形象思维依然占据主导地位的初中学生，需要形象思维作为数学学习的支撑），但是形象思维是不是就意味着用生动形象的事物呈现在学生面前，以让学生感觉好玩、有趣呢？是不是要用现代教学手段，用声光电去刺激学生的学习需求呢？笔者以为并不全然如此，因为数学本身所具有的抽象特征，决定了数学学习终归是要走理性的道路的. 因此，在初中数学教学中，用具有形象思维的本质去驱动学生的数学思维，才是有效教学的根本. 基于这样的判断，笔者提出用实际问题及其产生的学习需要，去驱动学生的数学学习，本文尝试就此问题进行探讨.

创设情境，体验实际需要

实际需要是由实际问题驱动的，实际问题来源于生活，如果能够引用学生体验过的实际生活，或者改造成为学生能够理解接受的生活，那其就是有效的. 考虑到上面所说的实际需要对学生数学思维驱动的重要作用，笔者采取了创设情境的办法，以让学生在实际需要的体验当中认识引入负数的必要性. 具体做法如下：

第一步，基于教材设计，创设问题情境. 这一步的情境创设灵感来源于教材，也采用了教材中的相关素材，但笔者的思路不仅仅是让学生感觉简单的数的产生史，更在于让学生产生一种心境，以强化数在不断发展的认识. 笔者用多媒体向学生呈现教材上的三幅插图，让学生感受最古老的计数的产生过程——教师要特别强调计数需要本身驱动了数的产生，而这个数其实就是已经学过的“正数”；第二幅插图给出了“0”（这个时候笔者并没有呈现第三幅图），让学生将“没有”与“0”产生对应，同时引导学生认识到数是在不断发展的. 在这一步中，笔者特地引导学生比较两幅图，以生成数的发展的认识，在此基础上再呈现第三幅图，学生自然就认识到原来在正数、0的基础上，又引入了负数. 由此，便产生了一种隐性的需要.

第二步，基于逻辑思维，判断数的发展方向. 在上面三幅图比较完毕之后，给学生提出一个问题：你认为数为什么会不断发展？根据笔者的教学经验，学生起初会感觉到这个问题有点空泛，不知道从何答起. 此时只要稍作点拨，学生就发现实际生活中的需要，让数有了新的发展. 这个时候学生一般是想不到发展方向的，但一定会认识到数是有发展方向的. 记得班上有一个学生在下面插言：“负数也是实际需要之下才产生的吗？”课后笔者与这个学生交流，才知道他已经在校外机构学过这一内容，但并没有从实际需要的角度形成认知.

第三步，基于上述认知提出新的问题. 新的问题是：在我们的生活中还有一种新的情形，这种情形用我们小学阶段学过的数已经无法描述，这也是一种现实需要，它能不能让我们想出新的数来描述呢？这里笔者举出了零下温度的例子，但并没有直接给出负数的概念，而是让学生自己去想办法用数描述这种现实需要. 这也算是实际问题的驱动方式，对学生的数学思维有着明显的激发作用.

分析需要，建立数学概念

在上述问题的基础上，学生此时的思维已经集中在“能不能自己想个数去描述新的实际需要（零下温度的表示）”上. 这个时候实际需要已经开始明显驱动学生的思维，而这一过程实际上又是具有显著的探究特征的，毕竟用一个新的数来描述新的情况，是学生此前的数学学习过程中很少遇到的. 从课堂教学的即时情况来看，这一策略是成功的，因为学生在十分钟左右的时间内想到了很多的方法，而其中不少方法就与负数思想密切相关. 结合课后跟学生交流的情况，笔者大致了解了学生在课堂上的想法.

有的学生认为，零下的温度可以在正数之前加上文字，就如“零下”两个字就行了，但小组内的其他学生就有反对意见，认为汉字与数字混在一起，不伦不类，不能算是很好的方法；也有学生说能不能在零下的那个温度的数值的上面或者下面加一个记号，如一横，这样就可以知道其是表示零下的温度的；还有学生说既然是零下的温度，那就可以想想零上温度的表示有没有什么特别的地方，结果发现日常所用的正数（学生此时还没有正数的概念）没有什么特别之处，因此思维就暂时陷入了困境. 当然也有学生因为之前学过，或者在生活中听说过等原因，提出了负数的概念. 这个时候在他们的意识当中，负数前面的那个负号，已经与实际需要产生了或断或续的联系，尽管这种联系此时还不是很明确，但已经能够为后面的学习奠定基础.

有了学生丰富的思考，这个时候结合温度计上的示数（用幻灯片放大），且在学生已有经验的基础上，告诉学生已经学过的数其实都是正数，前面应当有个正号，只不过因为使用普遍，常常省略了这个符号. 如果需要表示零下的温度，则可以在正数前面加上一个不可省略的负号，成为一个新的数，即负数. 于是，负数概念自然形成.

随后，数学教学中常用的变式思想派上了用场. 此时笔者向学生提问：生活中有没有其他场合也是需要用负数的呢？这个时候，因为前面所做的铺垫，学生已经知道要寻找与已知实例相联系，但情形又具有相反性质的事物了. 于是，赚钱与花钱的例子，家庭里增加人与减少人的例子，图书馆里还回来的书与借出的书等，都成为理解负数概念的生动鲜活的生活例子.

需要指出的是，学生举例的过程，实际上也是内心对负数概念认识需要之下的数学思维过程，到此，负数概念就相对深刻了.

实践应用，深化概念理解

用应用来强化数学概念理解，也是数学教学的常规手段，但有一点必须认清，那就是简单的例题呈现并不是真正的数学应用，往往还有可能增加学生的学习负担. 因为如果在解题中出现了错误，且被教师惩罚了的话，对學生的学习自信心与积极性没有什么好处. 反之，如果教师能够精心加工实践应用情形的出现方式，则可以让学生产生自主解决问题的需要，使学习效果得到提高.

笔者找到了一道例题：下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是：美国减少6.4%，德国增长1.3%，法国减少2.4%，英国减少3.5%，意大利增长0.2%，中国增加7.5%，写出这些国家这一年商品进出口总额的增长率. 然后笔者对其进行了习题情境的改编：今天我们生活的改善，得益于中国的改革开放，自改革开放以来，中国经济问题的增长居世界前列，相比较而言，其他国家的经济增长则是不同景象. 某一年的统计结果是这样的：美国减少6.4%，德国增长1.3%，法国减少2.4%，英国减少3.5%，意大利增长0.2%，中国增加7.5%.

然后进一步阐述：同学们看出来了没有，有的国家是增长的，有的国家是减少的，你们想到了什么？留几秒钟的时间让学生思考，最后提出问题：这些国家这一年商品进出口总额的增长率是多少？

这一段描述需要高度重视的语气，要将学生引入到因为中国经济发展速度很快而产生的自豪感与认同感中，这是学生产生问题解决需要的关键. 很多情况下，因为教师不恰当的语气，让学生一眼就看出了只是换个花样让他们做题，一旦那样，问题情境就不大可能让学生产生解决问题的需要. 随后的学习过程就简单了，只要学生认识到“增长”与“减少”是互为相反的，需要用正数和负数分别表示再运算就行了. 真正达到了这一效果，实际上就深化了对正数和负数概念的理解.

总结分析，建立数学认识

数学学习贵在得法，贵在学生的内心产生一种满足自我需要的学习动力. 因此，在新的知识学习之后总结知识的形成过程是非常有必要的. 在正数与负数的概念学习之后，笔者让学生回想负数的形成过程，再一次清晰地认识到是因为实际需要，驱动了新的数学概念的生成.

在此基础上告诉学生，其实很多数学概念的形成都遵循着同样的途径，有的是因为实际生活的需要，有的则是因为数学发展的需要，但无论是什么样的需要，都是数学发展的动力所在. 因此在数学学习过程中，如果学生能认识到用自己所学的数学知识对生活需要进行描述存在不够的情形，那就说明新的数学概念即将诞生. 这样的过程，与数学发展的过程有质的相似，是真正的数学探究过程. 而这样的认识一旦形成，数学入门即成事实.