简化法向量计算及二面角问题的探索

【摘 要】本文以例诠释将法向量引入立体几何中解决线面角、二面角和点到平面的距离等问题的新思路，讲解直接法、轴面位置法、“有 0 速算法”、行列式法等四種简化法向量计算的方法。

【关键词】简化法向量 线面角 二面角 点到平面的距离

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2017）02B-0153-04

将法向量引入到立体几何中，为解决线面角、二面角和点到平面的距离问题提供了新的思路，利用法向量解决上述问题时，一般很少添加辅助线，省去作角、作线段的诸多不便，也无需进行复杂繁难的推理论证，只需通过坐标运算后进行判断即可，因此解题方法步骤程序化，学生易于掌握。

通常，只要能建立直角坐标系，使用法向量解题的思维量是很小的，也很方便，但不足之处是运算量大。新课标背景下运算能力与运算技能是高中学生最大的短板，在计算和应用法向量时，学生有以下两个常见错误：一是把点的坐标或向量坐标写错，这类错误属于计算能力或粗心问题，只要引起重视，平常多训练，是可以避免类似错误的。二是易把法向量算错，用解方程法求法向量，具有一定的计算复杂度，多数同学不知道简化运算和验证的方法，从而犯错的几率很大。本文针对第二类错误，提供一些简化法向量计算的方法，并在此基础上对二面角问题进行了探索，如有不当之处，敬请各位同仁批评指正。

一、从一道典型的高考题说起

如图1，四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥ 平面 ABCD，E 为 BD的中点，G 为 PD 的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，，连接 CE 并延长交 AD 于点 F。

（Ⅰ）求证：AD ⊥平面 CFG；（Ⅱ）求二面角 B-CP-D 的余弦值。

上题是 2013 年江西理科卷第 19 题，原题第二小题是“求平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值”。本文在引用时有所改动。以下是解答这道题的常规方法。

解：（Ⅰ）在△ABD 中，因为 E 为 BD 的中点，所以 EA=AB=EB=ED=1，故 ∠BAD=90°，∠ABE=∠AEB=60°。因为 △DAB≌△DCB，所以 △EAB ≌△ECB，从而有 ∠FED=∠BEC=∠AEB=60°，所以 ∠FED=∠FEA，故 EF⊥AD，AF=FD；又因为 PG=GD，所以 FG//PA。因为 PA⊥ 平面 ABCD，所以 FG⊥AD，EF∩FG=F，所以 AD 平面 CFG。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 AB，AD，AP 两两垂直，以 A 为坐标原点，的方向为 x 轴的正方向，为单位长，建立如图 2 所示的空间直角坐标系 A-xyz。则 B（1，0，0），因此设平面 BCP 的一个法向量为 =（x1，y1，z1），由，得到，取x1=1，得。设平面 DCP 的一个法向量为 =（x2，y2，z2），由，，得到，取 x2=1，得 =（1，，2）。所以 cos<，，因为二面角 B-CP-D 是钝角，所以二面角 B-CP-D 的余弦值为 。

本题第（Ⅰ）问主要考查线面位置关系的证明。另外根据考试大纲要求，高层次也包含低层次的内容，此问也注重了对底面的平面几何图形性质的考查。第（Ⅰ）问的解决是第（Ⅱ）问的建系的前提。我们注意到第（Ⅱ）问解答过程中，有几个关键的地方：第一，在求法向量的过程中需要解不定方程（组）。对于不定方程（组），学生处理经验少，技术缺乏规范，而教材的设计在这方面的考虑也不足。第二，利用法向量求二面角时要通过观察来判断二面角是锐角还是钝角。然而，当二面角接近直角或不宜观察时，要进行判断是有难度的。

二、简化法向量计算的方法

为了提高求法向量的效率，本文给出以下简化计算的方法：

（一）直接法。若题目给出平面的一条垂直线段，则该线段可视为法向量。

（二）轴、面位置法。若平面经过或平行于某条轴，则对应的坐标为 0。若平面垂直于某条轴，则对应坐标不为 0，如平面垂直于 z 轴，其中的一个法向量为 =（0，0，1）。若平面既不平行（或经过）又不垂直某条轴，其中的一个法向量可设为=（1，y，z）。

（三）“有 0 速算法”。因为法向量与平面内的向量是垂直关系，所以求出法向量后，计算法向量与所找平面内两向量数量积是否为 0，就可验证结果是否正确。利用这一思路，便得到以下方法：求平面 BCP 的法向量 =（1，y，z），其中在 这两个向量中，只有 的坐标中有“0”，先考虑向量 与 垂直。的 z 坐标为 0，只须保证 与 的 x 坐标与 y 坐标的乘积之和为 0，此时 的 z 坐标可以是任意实数，可列式如下：，解得 。再考虑坐标中没有“0”的 ，要让 与 垂直，可得，解得 z=，从而得到平面 BCP 的法向量 =（1，-，）。“有 0 速算法”的特点在于：一是计算过程简单，二是计算的过程其实就是验证的过程，保证了所求法向量的正确性。

（四）行列式法。这是笔者较提倡的方法，当向量中含参数时，用行列式法效果尤为明显，此外在解决二面角的大小或余弦值问题时有其独特优势。考虑到行列式法解决二面角问题的重要性，本文给出二阶、三阶行列式和向量积的简要介绍，读者如有需要，可参阅相关文献。

1.二阶行列式。把 叫做二阶行列式，其中横排叫做行，纵排叫做列，a，b，c，d 叫做行列式的元素。在二阶行列式中用实线表示的对角线上两个数的积，减去用虚线表示的对角线上两个数的积所得的差，就是

叫做二阶行列式的展开式。

2.三阶行列式。把 叫做三阶行列式。 对于三阶行列式有

上式称为三阶行列式按第一行的展开式。

3.行列式的两个性质。（1）交换行列式的任意两行，行列式的绝对值不变，而符号相反。

（2）行列式某一行所有元素的公因子可以提到行列式记号的外边。

4.向量积。两向量 与 的向量积是向量，用 ×表示，它垂直于 与 所决定的平面（即 × 同时跟 和 垂直），方向按右手规则确定，即当你的右手四个指头顺着 到 的方向旋转时，拇指所指的方向就是 × 的方向（图 3）。

在空间直角坐标系中，若 =（x1，y1，z1），=（x2，y2，z2），则

其中 ，，是坐标向量。

重要的运算规律：×=-（ ×）。

有了上面的知识，第（Ⅱ）问中平面 BCP 的法向量 ，就可按以下方式求出。

由 =×，得

其中，运用行列式性质 2，行列式记号前的 是第二行提出的公因数 与第三行提出的公因数的积。只要熟悉展开式的特点，就能迅速写出法向量，如平面 DCP 的法向量 ：

上述计算中之所以提出公因数，原因是让法向量的坐标尽量不出现分数和无理数，以免增加计算的复杂性。而平面 DCP的法向量 的坐标中未提公因数-1，原因是在解决二面角大小或余弦值问题时，易把法向量的方向弄反，后文中会说明这一点，因此涉及这类问题时，尽量不要放负数在坐标前。根据上述原则，的坐标同除 得到新的法向量 =（3，，2），=（-1，，-2）的坐标同除 得到新的法向量 =（-1，，-2）。

三、二面角问题的进一步探索

正如前文所述，通过观察来判断二面角是锐角还是钝角，在特定情形下是有难度的。那么，能否通过代数方法解决这一问题呢？于是笔者进行了下面的探索。

若 ，是平面 α，β 的法向量，则 ， 指向与二面角内侧的关系大致有下列三种情形（图 4）。

以二面角内侧作为参照标准，如上图（2）（3），，都指向二面角内侧或外侧时，二面角 α-l-β 的大小与<，>互补；， 一个指向内侧，另一个指向外侧时，二面角 α-l-β 的大小与<，>相等，如图（1）（注：对于 外指，内指情形与此一致）。法向量与二面角的关系可概括为：“同进同出互补，一进一出相等。”那么如何在坐标上体现出法向量的方向呢？

把法向量设为 =（x1，y1，z1），列出两个三元一次方程，再根据系数情况赋值，进而得到法向量坐标。以這种方式得到的法向量，除了与坐标轴平行或重合外，要判断其方向还是很难的。如果我们先定方向再求坐标，就能绕开这个问题，而实现该想法的关键在于行列式法的使用。本文用行列式法求平面 BCP 的法向量 时，由于 =×，故按照右手规则，当右手四指顺着 到 的方向旋转时，拇指指向二面角 B-CP-D 的外侧，即 指向二面角 B-CP-D 的外侧。值得注意的是，在构造 的行列式时，第二行排的是 的坐标，第三行才排 的坐标，若二者位置对调，根据行列式性质 1，所得结果应为-（×），即向量 ×。同理，由平面 DCP 的法向量 =×，知 指向二面角 B-CP-D 的内侧，此时二面角 B-CP-D 的大小与 <，>相等，因此所求余弦值为 cos<，。为了快速求出法向量方向与坐标，笔者建议，当所给图形公共棱明显时，可先写出公共棱的向量坐标再以这个向量的起点 C 为起点，在二面角的各个半平面内找两点 B，D 为终点，就得到两个向量 ，。因这三个向量共起点，按右手规则，统一顺着 到 或 的方向旋转时，法向量的方向必定一个指向二面角外侧，另一个指向内侧。 若所给图形公共棱不明显时，可在二面角的两个半平面内，各找三个不共线的点，以其中一点为向量起点，构造两个向量，再依右手规则得到两个法向量，进而求出二面角。

四、应用示例

下题是 2013 年浙江理科卷第 20 题，解题时需根据条件设未知数表示空间点的坐标，从而增加了问题解决的难度。现用本文所述方法解答如下，望读者能从中体会到它们的特点。

如图（图5），在四面体 A-BCD 中，AD⊥平面 BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=。M 是 AD 的中点，P 是 BM 的中点，点 Q 在线段 AC 上，且 AQ=3QC。

（Ⅰ）证明：PQ // 平面 BCD；

（Ⅱ）若二面角 C-BM-D 的大小为 60°，求∠BDC 的大小。

∵ AD⊥平面 BCD，AD 平面 ACD

∴ 平面 ACD⊥平面 BCD

∵ 平面 ACD∩平面 BCD=CD

又 CE⊥CD

CE 平面 ACD

∴ CE⊥平面 BCD

又 BC⊥CD

故 CE，CB，CD 两两垂直

以 A 为坐标原点，建立如图 6 所示的空间直角坐标系。设 BC=a，CD=b。则 C（0，0，0），B（0，a，0），D（b，0，0），M（b，0，1），。

（Ⅰ），显然平面 BCD 的一个法向量为 =（0，0，1）。

∴ ⊥

又 PQ 平面 BCD

∴ PQ // 平面 BCD

（Ⅱ）在 Rt△BCD 中，有 BC2+CD2=BD2

即 a2+b2=8 ①

=（b，-a，1），=（0，-a，0），=（b，-a，0）。设平面 BMC 的一个法向量为，由=×，得

（a，0，-ab）。

同理，设平面 BMD 的一个法向量为 ，由=×，得

，于是

即 ②

联立①②，解得

a=，b=

∴∠BDC=60°

【参考文献】

[1]王祥林.云南高考数学试题分析详解、常见错误分析及模拟练习[M].昆明：云南教育出版社，2013

[2]万中义.中学数理化公式定理手册[M].成都：四川辞书出版社，2002

[3]谷超豪.数学词典[M].上海：上海辞书出版社，1992

[4]俞 萍.向量暗藏玄机 方向掌控自如[J].中学数学杂志，2013（4）

【作者简介】李发光，男，硕士研究生，云南师范大学附属实验中学教师。

（责编 卢建龙）