基于学生思维发展的小学数学解题策略教学思考

钱兴明

摘 要：小学数学教学中，运用知识去解题是深化知识理解的重要环节。对于小学生而言，解题策略多是隐性的，其常常在解题的过程中暗自形成，但策略培养对于教师来说则是显性的，面向学生的思维实际培养解题策略是根本选择。从学生数学素养形成的角度来看，思维发展与策略形成也是伴生的，两者互相影响，互相促进。

关键词：小学数学；思维发展；解题策略；教学思考

小学数学教学中，知识运用是深化知识理解、完善知识结构的重要环节，解题是数学应用的重要形式，好的解题教学不但能够避免学生走入题海，还能让学生有效掌握数学方法，形成良好的数学思维。多年的数学教学让笔者意识到，所谓好的习题教学，一定是策略性比较明确的教学，同时也是基于学生思维发展的教学，因为只有从学生的思维实际出发，才能让学生真正进入策略掌握的状态，本文试以人教版小学数五年级的教学为例，阐述笔者的相关观点。

一、 解题策略是面向学生的思维实际的

在常规的解题策略研究的语境中，教师将更多的精力集中在解题策略本身，举一个简单的例子，在一次五年级的数学观摩课上，上课教师在教“枚举”的教学策略的时候举出例子：小明妈妈买了七个苹果，如果每天至少要吃两个，那有多少种不同的吃法？这个例子理论上对于四年级的学生来说并不难，因为学生确实可以有枚举的方法来获得多种可能性（尽管可能并不全面）。后来在评课环节，不同的人对此例子提出了不同的见解，有人认为这个例子过于简单，放在五年级的数学课上是不恰当的；而有人则持不同意见，但原因似乎并不充分。后来笔者在发言的时候提出一个观点：看例子恰当与否，要看教师的教学目的是什么。显然，这里教师是想让学生认识枚举策略，既然如此，那学生的学习重心就不是例子本身，而是通过例子来形成对枚举策略的认识。五年级的学生可以迅速地从一天吃几个、两天吃几个、三天吃几个的角度逐一枚举，且迅速得出结果。这样的“迅速”是有价值的，因为其可以保证学生不将注意力过多地放在解题本身，也就是说例子本身是不需要学生花太多的精力的，因而就保证了学生可以将重心放在解题策略的形成上。在上面的分析中，学生尝试从一天、两天、三天的角度来依次列举，这恰恰又是枚举思路上升为枚举策略的关键，因此这个例子对于五年级的学生来说，笔者以为是恰当的，其根本原因就在于此时学生的思维足以支撑该解题策略的形成。

要让学生的思维实际能够支撑解题策略的形成，就必须认真研究解题策略与学生思维实际之间的关系。在五年级下册的“因数和倍数”教学中，学生掌握因数与倍数概念的关键之一，就是对算式进行有效的分类，其中涉及的最基本的解题策略就是分类策略。分析教材可知，教材是通过对算式的分类来建立倍数与因素的概念的，此过程中分类策略以隐性的形式存在，成为支撑两个重要概念形成的基础。在研究的过程中，笔者进行了比较：如果采用传统的教学方式，即在呈现算式之后，省略学生的思考过程而直接将两类算式（一类是除了之后的结果为整数，另一类是除了之后的结果为小数）告知学生，那学生也可以从结果的不同发现两个类别，这个时候教师介绍倍数与因素的概念，学生也是可以理解的。但是，这种理解水平是低层次的，某种程度上讲其属于心理学中的“顺应”，因为学生无法用自己的原有知识去通过“同化”的方式生成概念。

反之，如果让学生自己去分类（是不是要先计算再分类，得看具体情况，笔者并不提倡此方式，因为这个方式需要花一定的时间用来计算，这样容易冲淡概念建立这个主题），那学生在观察的时候，是可以迅速地从结果的不同去发现算式的差异的，这个过程不是教师指引的，而是学生自主发现的——这说明学生有自主分类的能力，这个能力支撑了分类策略的形成与运用。所以在让学生总结自己的这段学习的时候，学生最感兴趣的正是通过自己的努力获得的分类过程与结果，他们在说自己发现算式的结果不同时兴高采烈，这反映了学生分类过程中的成就感，实际上也就是分类策略以隐性的方式形成的成就感。在此基础上建立因数和倍数的概念，学生学习心理中更多的就是同化的成分了。

二、 在解题策略形成的过程中发展思维

事实上，解题策略作为一种高度凝练的过程，其对学生的思维也是有促进作用的。这里实际上存在着某种隐喻：如果将思维发展比较游泳技能的形成，那解题策略就相当于学生学习游泳的过程，因此在解题策略形成的过程中发展学生的思维是有可能的。

在“同分母的分数加法”教学中，有这样的一道习题：有红、黄、蓝三条丝带。红丝带比黄丝带长 m，蓝丝带比黄丝带短 m，红丝带与蓝丝带相差多少米？按理说，刚刚学过同分母的加法，且作为最简单的分数运算，学生在遇到这个问题时不应当出现多大的问题。但是要注意的是，这个问题已经不是简单地直接将两个同分母的分数相加的式子呈现在学生的面前，而是以实际问题的形式呈现在学生面前，也就是说学生此时面临的是一个实际问题的解决问题。如果学生直接将题中的两分数相加，反而倒是有问题的了——因为这说明学生缺少对问题的必要的分析。

因此，从实际问题解决的角度来看，本题的教学还是要讲策略的。问题是如果教师直接将策略告知学生，那本题中最有价值的那部分营养就流失了，那么如何让学生自己发现问题解决的策略呢？笔者的教学中最重要的一个环节是：让学生反思自己遇到的困难是什么？结果学生的回答是理不清三根丝带的长短关系——也许会有同行觉得奇怪，怎么会有这个问题呢？其实真正从学生的学习能力或者说认知特点角度去看，这是正常的一种现象（尤其是对于概念辨析能力一般的学生而言），文字表达的红黄蓝三条丝带只是字面上的差异，而不会在这些学生的思维中引发明显的区别。而当笔者将这一点指明的时候，学生果然有一种恍然大悟的感觉，于是笔者问学生怎么办？打开思路的学生迅速想到，可以用不同颜色的笔在草稿纸上分别画出三条线以表示三条丝带，然后将其中的分数关系标记其上——此过程中需要调整色线的长度，而调整的过程其实又是一个学生理解习题的过程，可以促进学生对题目的理解……在这样的过程中，学生无形当中是在运用一种有效的解题策略——图示策略，将抽象的文字转换成形象的图形，在数学教学中原本就是一个常用策略，而这个策略的形成在此解题过程中显得不露痕迹，整个教学过程中笔者没有提“策略”二字，但学生实际上已经形成这种策略的认知，其可以迁移到其他的抽象问题的解决中去。

而从思维的角度看这段教学过程，可以发现无论是将抽象文字的形象化，还是标记数字过程中对原先所画丝带长度的调整，甚至包括少部分学生在起初画丝带的时候就已经考虑了三个丝带各自的长短关系，这样的过程中学生的思维不断地递进，思维能力得到了持续的发展。

三、 以思維的发展驱动解题策略的形成

笔者一直认为，思维的发展与解题策略的形成其实是一种相辅相成的关系，解题策略的形成肯定也是依赖思维的发展的，小学生的数学学习过程自然是一个思维不断发展的过程，在这个过程中，无论是有形的策略还是无形的策略，都是在思维驱动下不断发展的。

小学生数学学习中思维发展如何才能被教师准确把握？这是一个颇有研究价值的问题，笔者的观点是：以形象思维为主要思维方式的小学生，其思维发展往往是通过对数学命题的理解来获得判断的。数学命题有两种基本形式：一种是新知构建中的概念、规律、公式等；另一种是新知的运用，主要就是学生对数学试题的理解。

比如说在“图形的运动”教学中，学生的思维发展主要是随着图形的平移与旋转而发生的，到了具体的问题情境中，当需要学生判断某个图案是由哪个图形旋转而成时，学生思维所加工的自然就是图形与图案的表象——包括静止表象与动态表象（想象表象）。注意分析教材了没有？教材通过6道课后习题来让学生进行训练，这样的题量显然不只是让学生去进行简单的重复，而是让学生在重复的过程中形成一种策略性的直觉，即以后遇到图形运动，最好的应答策略之一，就是进行有效的表象加工——学生并不需要知道表象这一概念，只要知道在大脑中去构建动态的图形即可，而这恰恰是“图形的运动”教学所最需要注重的一点：图形的运动最终应该落脚到学生思维中的图形的运动，即表象的形成与加工。

由此可见，数学解题教学（问题解决）过程中，策略的形成需要依赖于学生的思维而进行，且需要提醒的是，无论是策略还是思维，其都不是抽象的，而是依赖具体的数学解题过程而存在的，抓住了解题这个重要的环节，策略与思维便可相伴而生！