利用开普勒方程求解一道高中物理竞赛试题的思考

安徽合肥市第八中学(230071)

张挽犁●



利用开普勒方程求解一道高中物理竞赛试题的思考

安徽合肥市第八中学(230071)

张挽犁●

利用开普勒方程，对一道高中物理竞赛试题进行了求解.

开普勒方程；高中物理；竞赛试题

一、2012年全国中学生物理竞赛的一道复赛试题

设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯，电梯顶端可超过地球的同步卫星高度R(从地心算起)延伸到太空深处.这种所谓的太空电梯可用于低成本地发射绕地人造卫星，其发射方法是将卫星通过太空电梯匀速地提升到某高度，然后启动推进装置将卫星从太空电梯发射出去.

1.设在某次发射时，卫星在太空电梯中极其缓慢地匀速上升，该卫星在上升到0.80R处意外地和太空电梯脱离(脱离时卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零)而进入太空.

(1)论证卫星脱落后不会撞击地面.

(2)如果卫星脱落后能再次和太空电梯相遇，即可在它们相遇时回收该卫星.讨论该卫星从脱落时刻起，在0～12小时及12～24小时两个时间段内被太空该电梯回收的可能性.

2.如果太空电梯地点位于东经110度处，在太空电梯上离地心距离为XR处有一卫星从电梯脱落(脱落时卫星相对于太空电梯上脱落处的速度可视为零)，脱落后该卫星轨道刚好能和赤道某处相切，而使卫星在该点着地，试求卫星着地点的经度.提示：此问要用数值方法求解高次方程.

二、试题分析

原题在2012年具有较大的难度.其中第2小问，题文的要求是予以定性分析，并不要求求出严格的答案.考场上有很多同学试图求出严格解，但探测器的轨道是椭圆，这就涉及了椭圆积分的问题，是参加复赛的同学的水平很难企及的.我在备考竞赛的过程中，对于这道题的严格解产生了兴趣.在本文中，我利用开普勒方程求出了回收时间的严格解.

1.原题中第一小问的求解

2.接下来我们讨论是否能回收的问题

原题解中并未给出定量计算过程.简要分析，发现这势必需要通过开普勒方程求出偏近点角，再利用积分求出一部分椭圆的面积，最后依据开普勒定律求出周期.对于参加复赛的学生们，若考察该小问的定量计算，是超越了考纲的，更是完全失败的.现在我们给出这个问题的定量计算结果.

那么，探测器扫描过的总面积可计算为：

至此，得到了最终答案.与原题解中定性分析的“12～24小时内被回收”相符.若直接将椭圆的真近点角与时间的关系化为线性，得到的答案应为15.5小时，与严格解相差了一个多个小时.本题的严格解需要比较高的数学及物理工具，并不适宜于作为一道物理试题.并且，本题中许多方程用正常手段很难解出，只能数值解.而数值解则就产生了很大的误差，本题解只是提供了一个思路，并在保留5位有效数字的情况下做了一个求解，仅供参考.

[1]全国中学生物理竞赛第29届试题及解答.

[2]石教兴. 开普勒方程的推导及其意义[J]. 郧阳师范高等专科学校学报,2005,25(3).

[3]舒幼生. 奥赛物理题选[M]. 北京:北京大学出版社,2014. 108-109.

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1008-0333(2017)13-0065-02