关于求解数列通项公式的方法

广东省肇庆市百花中学(526000)

何正文●



关于求解数列通项公式的方法

广东省肇庆市百花中学(526000)

何正文●

数列在高中数学中具有重要位置，而求数列通项公式是高中数学中的堡垒，具有一定的技巧性，是衡量学生数学素质的要素之一.它的求解方法是灵活多变的,构造的技巧性也很强,但是此类题目也有很强的规律性,存在着解决问题的通法.

归纳猜想；公式法；策略

一、归纳猜想法：由数列的前几项求数列的通项公式

(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等，并对此进行归纳、联想.(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着从特殊到一般的思想，由不完全归纳提出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(-1)n或(-1)n+1来调整.

例1 写出下面数列的一个通项公式.

二、公式法：这种方法适应于已知数列类型的题目

高中重点学了等差数列和等比数列，当题目中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差或公比.

1.等差数列通项公式an=a1+(n-1)d

例2 已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10，求数列{an}的通项公式.

为an=2-n.

2.等比数列通项公式an=a1·qn-1

3.由an与Sn的关系求an

解析a1=S1=0.

当n≥2时an=Sn-Sn-1=(n2-1)-[(n-1)2-1]=2n-1.

三、由递推公式求数列通项公式

对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题.

类型1 ：递推公式为an+1=an+f(n)

其中f(1)+f(2)+…+f(n)的和比较易求 ，通常解法是把原递推公式转化为an+1-an=f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解.

解析 由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1则

an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1

=[2(n-1)+1]+[2(n-2)+1]+…+(2×2+1)+(2×1+1)+1

=2[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+(n-1)+1

=n2

类型2：递推公式为an+1=anf(n)

两边分别相乘得，得an=f(n-1)f(n-2)…f(2)f(1)a1,

∵an+1=f(n)an

∴an=f(n-1)an-1，an-1=f(n-2)an-2，…，a2=f(1)a1

依次向前代入，得an=f(n-1)f(n-2)…f(1)a1.

类型3： 递推公式为an+1=can+d,(c≠0).

(1)若c=1时，数列{an}为等差数列;

(2)若d=0时，数列{an}为等比数列;

(3)若c≠1d≠0时，数列{an}为线性递推数列，

其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.

推理如下：(待定系数法)设an+1+λ=c(an+λ),得an+1=can+(c-1)λ,与题设an+1=can+d,比较系数得

(相减法)：在递推关系an+1=can+d中把n换成n-1有an=can-1+d,两式相减有an+1-an=c(an-an-1)从而化为公比为c的等比数列{an+1-an},进而求得通项公式.an+1-an=cn(a2-a1),再将an+1=can+d代入，即可解出an.

解法一 ∵an=2an-1+1(n≥2),

∴an+1=2(an-1+1).

∴an+1=2×2n-1，即an=2n-1.

解法二 ∵an=2an-1+1(n≥2),

∴an+1=2an+1.

(倒数变换法)利用两边取倒数求通项公式.

(对数变换法 )这种类型一般是等式两边取对数后转化为an+1=pan+q，再利用待定系数法求解.

类型7： 递推公式为an+2=pan+1+qan(其中p，q均为常数)

解析 3an+2-5an+1+2an=0的特征方程是：3x2-5x+2=0.

类型8：递推公式为an+1=pan+an+b(p≠1,0,a≠0)

解析 设bn=an+An+B则an=bn-An-B，将an,an-1代入递推式，得

∴bn=an+n+1…(1),则bn=3bn-1.

又b1=6，故bn=6×3n-1=2×3n.

代入(1)得an=2×3n-n-1.

评注 (1)若f(n)为n的二次式，则可设bn=an+An2+Bn+C;

(2)本题也可由an+1=3an+2n+1与原式相减得an+1-an=3(an-an-1)+2.记an+1-an=bn，则有bn=3bn-1+2,转化为类型3.

类型9：双数列型

根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解.

所以an+bn=an-1+bn-1=an-2+bn-2=…=a2+b2=a1+b1=1,

即an+bn=1. (1)

由(1)、(2)得：

类型10：含根式的递推关系式(换元法)

类型11：(数学归纳法 )

通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明.

由此可知，当n=k+1时等式也成立.

根据(1)，(2)可知，等式对任何n∈N*都成立.

G632

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1008-0333(2017)13-0023-04