2016年全国丙卷解几压轴试题的解法探析

2017-06-05福建省龙海第一中学新校区363100

数理化解题研究 2017年13期

关键词：中点四边形线段

福建省龙海第一中学新校区(363100)

苏艺伟●

2016年全国丙卷解几压轴试题的解法探析

福建省龙海第一中学新校区(363100)

苏艺伟●

试题 (2016年全国丙卷第20题)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.

试题分析该题避开了高考解几传统的命题视角,以直线和抛物线为载体考查两条直线平行的证明以及求中点轨迹方程.主要考查考生的数学素养,探究能力,对考生的推理论证能力,逻辑思维能力要求较高.考生有没有深度的思考,能不能找到转化策略,成为解答本题的分水岭.多考想,少考算,正是该题的突出特点.本题具有一定的探索性和开放性,较好地体现了新课改理念.

解法分析

1.对第一步的分析

化简得ab=-1.

除了运用高中方法来证明出AR∥FQ,还可以采用初中平面几何知识.如图(2)所示,连接PF,RF.

故∠PFQ=90°,即三角形PFQ是直角三角形,PF⊥FQ.

此时在四边形APRF中,AP2+FR2=AF2+PR2,则对角线PF⊥AR.

因此有AR∥FQ.

简评上述解法借助了重要的平面几何知识,如“直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半”,“四边形对边平方和相等等价于该四边形的对角线互相垂直”,“和同一条直线垂直的两条直线平行”等等.从平面几何知识的角度来阐述本步更能凸显思维品质,给人以耳目一新的感觉.

综合上述分析不难发现,第一小步试题表述平实质朴,入口宽,解法多样,能够让不同的考生都有所收获,体现了课程理念中的“人人学有用的数学,有用的数学应当为人人所学,不同的人学不同的数学”.同时也启发我们在教学中要重视初中平面几何知识的复习以及拓展.

2.对第二步的分析

第二步的已知条件是△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,要求线段AB中点(设为E)的轨迹方程.联想到高中阶段学过的求轨迹方程的方法,由于点E的运动是由线段AB运动引起的,故可采用相关点法来求出点E的轨迹方程.而对于条件两个面积之间的关系该如何运用?关键在于准确写出面积的表达式.观察图形易知△ABF的面积可以看成两个同底的小三角形面积之和.