时标上二阶动力方程边值问题的正解

张 娟，武利猛，申玉发，马聪聪

( 河北科技师范学院 a 财务处，b 数学与信息科技学院,河北 秦皇岛，066004)

时标上二阶动力方程边值问题的正解

张 娟a，武利猛b，申玉发b，马聪聪b

( 河北科技师范学院 a 财务处，b 数学与信息科技学院,河北 秦皇岛，066004)

在现有时标理论的基础上，借助于锥中twin不动点定理，对一类二阶动力方程边值问题解的存在性进行了探讨，得到了至少存在2个正解的判别准则，同时给出实例验证了主要结果。

时标；动力方程；边值问题；正解；twin不动点定理

时标上的动力方程边值问题在科学工程和应用技术方面有着广泛的应用，从而成为时标上动力方程的一个重要分支。在时标理论的研究过程中，许多学者对时标上利用不动点定理解决动力方程边值问题正解的存在性产生了很大的兴趣，在文献[1～9]中作者分别考虑了时标上不同类型动力方程边值问题解的存在性。

2007年，王培光等[5]考虑了时标上二阶动力方程三点边值问题

(1)

至少存在2个正解的条件，其中β≥0,γ>0, η∈(0,T), 0<α<β/γ, d=β-αβη-αγ>0，其中T表示时标，下同。

关于时标上动力方程边值问题的研究已非常丰富，受以上文献启发，笔者研究以下边值问题

(2)

其中β≥0,γ>0,η∈(0,T), 0<α<1, d=αβη+(1-α)(βT-γ)<0。

笔者利用锥中twin不动点定理得到关于边值问题(2)至少存在2个正解的判别准则。始终假设以下条件成立：

(H1) a:[0,T]→[0,∞)是ld-连续的，且a(t)在[0,T]的任意子集上不恒为0。

(H2) f:[0,∞)→[0,∞)是ld-连续的，且f(u)在正测度链[0,T]上的任意子集上不为0。

1 预备知识

有关时标上的基础知识可参看文献[3]。为了简化原问题的计算，考虑如下二阶动力方程边值问题

(3)

βu(T)-γuΔ(T)=0, u(0)=au(η)

(4)

其中h(t)∈Cld(T,R)。

引理1 如果d≠0，那么边值问题(3)，(4)有唯一解

(5)

证明 对式(3)从0到t进行积分，得到

(6)

再对式(6)从0到t进行积分，得到

(7)

令t=T代入式(6)，再另t=η,T代入式(7)，有

(8)

(9)

(10)

将式(8)，(9)，(10)代入式(4)，得到

由上式，得到

(11)

(12)

其中d=αβη+(1-α)(βT-γ)。将式(10)，(11)，(12)代入式(7)，整理可得到式(5)。

引理2 令1-α>0和d<0，那么边值问题(3)，(4)的唯一解u(t)满足u(t)≥0, t∈[0,T]。

从而知uΔ(t)>0, u(t)是递增的，故只需要证明u(0)≥0。由d<0, 1-α>0可得

(B1) γ(Fx)>c, x∈∂P(γ,c)；

(B2)θ(Fx)

(B3) P(α,a)≠φ且α(Fx)>a, x∈∂P(α,a)。

2 边值问题的正解存在性

令Banach空间E=Cld[0,T]且范数‖u‖=supt∈[0,T]|u(t)|。定义锥P⊂E，且P={u∈E|u在[0,T]中是凹的，递减非负}。

定义全连续积分算子A:P→E，且

(13)

则边值问题(2)至少有2个正解u1,u2，使得：

证明 设η

ω(Au)(t) =(Au)(η)

ρ(Au)(t) =(Au)(η)

3 举 例

考虑时标上边值问题

(14)

4 结论与讨论

时标上动力方程已引起很多学者们的关注，在很多方面产生了优秀的成果，如解的振动性、周期解、解的存在性等。本次研究在现有时标理论的基础上，借助于锥中twin不动点定理，讨论了一类二阶动力方程边值问题的正解，得到了至少存在2个正解的判别准则，所得结果在一定程度上完善了已有文章的结论，丰富了时标理论。高阶动力方程边值问题解的存在性将是今后研究的主要方向。

[1] Anderson D R.Eigenvalue Internals for a Two-point Boundary Value Problem on a Measure Chain[J].J Comput Appl Math,2002,141:57-64.

[2] 孙红蕊,李万同.测度链上非线性m-点边值问题的正解[J].数学学报(中文版),2006,49(2):369-380.

[3] Liang S H,Zhang J H.The Existence of Countably Many Positive Solutions for Nonlinear Singular m-Point Boundary Value Problems on Time Scales[J].J Comput Appl Math,2009,223(1):291-303.

[4] 卢秀双,常小军.运用同伦连续法求解二阶时标边值问题[J].吉林大学学报(理学版),2010,48(6):949-950.

[5] 王培光,王颖.时间尺度上二阶动力方程三点边值问题解的存在性[J].数学学报(中文版),2007,50(3):701-706.

[6] 刘艳花.时标上动态方程的化简[J].赤峰学院学报(自然科学版)，2016，32(4):6-8.

[7] Agarwal R,Bohner M,O ’Regan D,et al.Dynamic Equations on Time Scales: a Survey[J].J Computational and Applied Mathematic，2002,141(1-2):1-26.

[8] 刘爱莲,朱思铭.时标上矩阵指数函数的计算[J].应用数学学报,2008,31(6):1 056-1 067.

[9] 武利猛,张娟,申玉发,等.时标上二阶动力方程m点边值问题的正解[J].河北科技师范学院学报,2015,29(2):20-26.

(责任编辑：朱宝昌)

Positive Solutions of Boundary Value Problem for Second Order Dynamic Equations on Time Scales

ZHANG Juana, WU Limengb, SHEN Yufab, MA Congcongb

(a. Department of Finance, b. School of Mathematics and Information Technology; Hebei Normal University of Science & Technology, Qinhuangdao Hebei,066004; China)

In this paper, a class of second order dynamic equations on time scales was discussed by means of a twin fixed point theorem in cone on the basis of the present time scales theory. A criterion for the existence of at least two positive solutions for the dynamic equations on time scales was established. Meanwhile, an example was showed to verify the main results.

time scales; dynamic equations; boundary value problem; positive solution; twin fixed point theorem

10.3969/J.ISSN.1672-7983.2017.01.005

2016-12-15; 修改稿收到日期: 2017-01-10

O175.8

A

1672-7983(2017)01-0024-05

张娟(1982-)，女，助教，硕士。主要研究方向：微分方程。