u0-锥度量空间上新的映射不动点定理

2017-06-01袁国常雷国营

华中师范大学学报（自然科学版） 2017年1期

关键词：不动点宜昌度量

袁轩，袁国常，雷国营，张宙

(1.三峡大学水利与环境学院，湖北宜昌 443000；2.湖北三峡旅游职业技术学院，湖北宜昌 443100)

u0-锥度量空间上新的映射不动点定理

袁轩1，袁国常2*，雷国营2，张宙2

(1.三峡大学水利与环境学院，湖北宜昌 443000；2.湖北三峡旅游职业技术学院，湖北宜昌 443100)

锥度量；u0-锥度量空间；单增映射；不动点

在文献[1]中，Potter在Hilbert空间上介绍了α-凹算子，给出了关于这类算子非线性特征问题Ax=λx解的存在性.随后，这类算子的条件和结论被人们减弱和改进[3].文献[3]进一步推广了α-凹算子，得到新的不动点定理.由此自然地产生一个问题，能否在一般集合上推广α-凹算子，进而讨论其不动点问题呢？解决这一问题是困难的.文献[4-5]给出锥度量的概念，这使得在一般集合上讨论相关映射的不动点问题成为可能.本文以文献[4-5]给出的锥度量概念为基础，建立了u0-锥度量空间理论，并引入满足条件H的映射T，讨论了T的不动点问题.最后给出的例子说明映射T正是Banach空间上的α-凹算子在一般正齐性集X上的推广.

1u0-锥度量空间

设E为实Banach空间，θ为其零元，P为E中非空锥体，E由P导入的半序记为“≤”，即u，v∈E，u≤v，且u≠v时，记为u

本文总假定X为非空正齐性集，(X，d)为完备的锥度量空间.

引理1[7]设Pu0中的两元u，v可比较，并且u≤v，则u-v∈Pu0.

现对X→X的映射T作以下假设H：T为单增映射，对∀x∈X，存在x0∈X，使得T满足：

引理3设T：X→X满足条件H，则∀x∈X，

证明设tx=y，则x=t-1y，代入条件H中的不等式，有

证明由引理3，对∀y∈X，有

证毕.

2(X，d)上满足条件H的映射的不动点定理

(1)

这与推论2矛盾.故t0<1，且

(2)

(3)

(4)

(5)

由推论2得到

综上述得到

(6)

再由T的单增性得到

v0≤v1≤…≤v0≤…≤wn≤…≤w1≤w0.

(7)

如此得到

由

及推论2得

取正整数n，p，由T的假设条件，(7)和T的单增性以及

得：

设有x#∈X，使得Tx#=x#. 记s1=sup{(s>0|d(x0，x*)≥d(x0，sx#)}.显然d(x0，x*)≥d(x0，s1x#).如果0

得x*=x#.证毕.

3例子

1) 当x与y可比较，分3种情况：设x≥y，z∈Pu0，

(1)若z与x，y均可比较，此时

；

(2)若z与x，y之一不可比较，不妨设z与y不可比较，此时

；

(3)若z与x，y均不可比较，此时

注2定理1在证明不动点的存在性时没有用到范数和锥的正规性，所以定理2更具有一般意义.

[1]POTTERAJB.ApplicationsofHilbertsrojectivemetrictocertainclassofnon-Homogeneousoperators[J].QuartJMathOxfond， 1997， 28(2):93-99．

[2] 郭大均. 非线性泛函分析[M].2版.济南：山东科学技术出版社，2001.

[3] 翟成波，王文霞，张玲玲. 一类凹与凸算子的推广[J].数学学报， 2008, 51(3):529-540.

[4]HUANGLG，ZHANGX.ConemetricspacesandfixedpointtheoremsofContractivemappings[J].JMathAnalAppl， 2007， 332:1467-1475．

[5] 张宪. 锥度量空间中Lipschitz型映射的公共不动点定理[J].数学学报， 2010， 53(6):1139-1148．

[6] 张宪. 序压缩映射的不动点定理[J].数学学报， 2005， 48(5):973-978．

[7] 袁国常. 锥压缩逼近算子的不动点定理[J].西南师范大学学报(自然科学版)， 2011， 36(5):44-47．

A new fixed point theorem of mappings onu0-cone metric space

YUAN Xuan1, YUAN Guochang2, LEI Guoying2, ZHANG Zhou2

(1.College of Hydraulic and Environmental， China Three Gorges University, Yichang, Hubei 443000;2.Department of Basic Course， Three Gorges Travel Vocational College， Yichang, Hubei 443100)