小学数学难点研究综述：基于教师的视角

于晓艳 俞爱宗

[摘要]数学学科是小学教育的重点学科，是学生学好其他学科的基础。准确合理把握小学生数学学习难点是增强学生学习兴趣、提高课堂教学效率的依据和基础。本文从教师的视角对小学数学难点确定的依据、难点的构成、难点的成因以及难点的解决策略四个方面进行研究，总结出目前研究存在的不足，以期促进小学数学难点问题的解决。

[关键词]教师；小学数学；困难点；研究综述

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号]1005-5843（2017）03-0139-04

[DOI]1013980/jcnkixdjykx201703028难点是针对学生接受而言的，即经过预习，学生还不能理解或理解有困难的地方，难点不一定是重点，它是针对具体的学生而言的[1]。义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础[2]，而小学数学则是基础中的基础。数学难点的精准确定可提高难点讲解的针对性，提高课堂教学效率，增强学生学习兴趣。本文采用文献法，以小学数学难点等为关键词，以中国知网（CNKI）为搜索平台进行篇名和关键词检索，共检索到121篇文献，从中筛选出23篇有效文献，并结合两本著作，围绕数学困难点的概念界定、确定依据、构成要素、形成原因、策略等内容进行分析，以了解教师对小学生数学学习难点的认识。

一、难点确定的依据研究

薛赞祥认为：“教师在确定教学难点时，要综合考虑学生的知识基础、经验、能力、思维水平等因素，充分估计学生感受到理解困难、推理滞涩、思维容易偏差的知识点。” [3]这提醒我们，要以学生为研究对象，要以学生的认知发展水平为出发点，充分考虑学生的学习障碍。周桂伶认为：“我们要对班级学生的基础知识与接受水平做一个全面的了解，充分体现因材施教的原则，确立教学难点，加强教学的针对性。”[4]该观点提出“以学生为研究对象”是极其可取的，但是具体怎样对学生做针对性调查，并没有进一步说明。此外，她还强调在确定难点的过程中要按照因材施教的原则，在教学过程中要有针对性地解决难点问题。刘园指出：“学生不容易理解的有关数学概念、原理、定律法则、公式等知识可以认为是数学难点，通过多次训练后学生还很难消化的知识，或是对于一些应用数学知识去解决一些实际问题而感到困难的也可以认为是数学难点。”[5]该观点倾向于对难点内涵的阐释，亦是作者对难点的确定依据。后者较前者程度更深，强调通过训练仍然难以获得，可谓难点重中之重。徐雁认为：“在教学难点的设计上，教师一定要认真研究教学内容以及准确把握学生的学习起点、知识经验或理解和接受新知的快慢等。”[6]该观点对教师提出认真研究教学内容的要求，即难点的确定不仅要依据学生的认知水平，还要立足于教材，充分研究教材的知识内容及其与学生认知的关系。马世和认为确定数学教学难点的三步骤：一是根据教材的知识结构，从知识点中梳理出重点；二是根据学生的认知水平，从重点中确定好难点；三是找准知识的生长点是突出重点、突破难点的条件[7]。教师要认真钻研教材，形成知识体系，以便整体把握教材内容。这样，才能找准教学的起点，突破教学的难点，捕捉知识的生长点，使教学目标切合实际。

综上所述，教师对学生数学学习难点的确定依据主要分为两部分：一是从教材中梳理知识点，通过知识生长点来划定难点知识范围；二是从学生的认知水平、知识基础、经验及能力等方面出发，了解其需求。可喜的是，部分教师认识到难点的确定应该将学生的身心需求考虑在内。然而，仅通过理论来研究学生的认知发展情况是不够的，更应该通过了解学生的课前预习情况及其反馈来设定难点。通过研究文献发现，教师以学生为研究对象，在课前对学生预习后仍存在困惑的知识点进行深入了解的情况几乎没有，换言之，教师在确定难点之前，对学生的真实需求并没有深刻了解。

二、难点构成的研究

在难点构成的分类方面，薛赞祥认为，就小学数学教材而言，以下几方面的知识点可确定为教学难点：抽象性的知识点、复杂性的知识点、干扰性的知识点、隐蔽性的知识点、特殊性的知识点、陡坡性的知识点等[8]。该观点从学生感性思维较强、逻辑思维能力薄弱、比较思维能力差、习惯着眼于表象、思维惯性较强、认知发展有限等特点出发，归纳出学生学习难点的六大种类，并将教材中的知识点进行分类，使具有共性的难点归类有章。韩春荣认为：“小学数学教学难点主要有以下几种类型：新知识与已有知识联系少而形成的难点；内容繁琐，不便记忆形成的难点；内容抽象，理解困难形成的难点；静态思维形成的难点。”[9]该观点从学习内容及学生思维两方面对数学学习难点进行分类。知识的抽象、繁琐及新旧知识间缺乏联系属学习内容的不足，而静态思维属学生认知水平，二者共同构成了学生学习数学产生的困难点。

在具体难点的划分上，以小学三年级教材为例，提及频次列前三位的难点分别为：两步计算应用题、面积问题和分数问题。赵艳辉认为，此前学生接触的是一步计算应用题，学生只需要选择加减乘除中的一种办法将两个数学信息联系起来即可。到本课学生须将连加、连减、加减混合、连乘法、连除法及乘除混合结合起来解决问题，题中的数量关系更加复杂[10]。可见，应用题之所以被划分在难点范围内，因其具有考验学生综合解题的能力，包括审题能力、推理能力、计算能力等。脱中菲认为：“从‘面积概念的理解这一维度来看，学生对面积理解更多地停留在‘對公式的记忆这一层面，而没有真正将‘面积的理解与‘面的大小联系。”[11]以往“面积”单元教学中，存在偏重面积公式计算和应用的倾向，而对于面积概念的理解以及面积和面积单位之间的关系的理解则关注不足。付建慧指出：“由于分数概念本身的复杂性和抽象性，使其成为小学阶段相对难理解而又非常重要的一部分。”[12]分数的复杂性和抽象性主要体现在，学生在生活中缺乏与分数相关的文化体验、四种运算结合加大运算难度、书写及计算难度远高于整数、须经约分的知识点过度等。但归根结底恰如章勤琼所言：“学生分数学习的困难主要是由于对分数意义没有理解或者理解得不全面。”[13]另外，倍数与因数、小数、广角集合、重量等也不同程度地被划分为难点。

通过对文献研究发现，针对小学数学难点构成的研究相对较少，换言之，很多教师对难点的概念和内涵并没有做深入的研究，也没有形成科学的理性认识。在难点构成的分类方面，基本以教材内容及学生思维水平为出发点，认为二者的不完备及其相互作用间所产生的冲突，构成了学生数学学习中的难点。在对具体难点的划分上，笔者认为应多开展此类研究以寻找其差异性。

三、难点成因的研究

内因方面，吕佳认为：“小学生的思维处于形象思维向抽象思维过渡。有的学生在学习时，由于认知的不完整，在重难点的自主建构时就会出现以偏概全的现象。”[14]该观点强调了小学生的思维特点，即由形象思维到抽象思维的过渡是难点形成的内在原因。洪亮将教学难点的内因归结为以下几点：基础知识与技能不牢；习惯定向和思维定势引起的负迁移；思维品质差，思维能力弱；非认知因素的影响[15]。该观点具有一定代表性，从知识储备情况、思维及习惯等方面揭示了作为主体的学生产生学习困难点的主观原因，并提出具有针对性的解决策略。笔者认为学生知识基础和接受能力是难点形成的重要因素。基础扎实、知识面较广，解决问题就相对容易一些，相反的就难一些。难点的存在跟一个人的禀赋也有关系，反应敏捷的，解决问题就快些，反应稍慢的就难一些。所以确定难点有个前提，这就需要教师了解学生，了解学生原有的知识、技能、兴趣、需要、思想状况、学习习惯等。

外因方面，曹平将教学难点的外因归结为以下几点：知识结构的复杂性、知识本质的隐含性、思维过程的抽象性、教学要求的随意性、教学方法的刻板化[16]。该观点着眼于知识本身及教师教学过程，指出知识的结构、本质及其思维要求具有复杂性、抽象性等特点，并认为教师的教学要求及教学方法有待改善。尹铭指出：“由于数学学科本身的严密性和简洁性，解答过程的完整性、逻辑性强等特点，容易让学生在学习过程中感到枯燥无味。”[17]该观点强调数学学科的固有特点致使学生学习兴趣降低。

综上，小学生数学学习困难的成因主要有内因和外因两个维度。其中，内因强调学生的思维发展水平、知识掌握程度、习惯定向等方面存在不足；外因强调知识的结构、本质及思维要求，以及教师教学过程中存在的缺陷。笔者认为，应该对学生进行针对性的实践调查，了解学生自身学习困难的真实原因，同时对学生的文化体验进行深层次探究，了解学生所达到的文化层面。目前，对难点内因的研究多从理论出发，真正对学生进行客观调查的文献较少。另外，外因部分的研究应包含家庭、学校、社会等多方面的综合作用。

四、解决策略的研究

1激发学习兴趣。陈木发认为编制歌诀，能够在提高学生学习兴趣的基础上方便学生记忆。如在画角的教学中，将步骤编制为歌诀“一画线，二重合，三找点，四连线”[18]。在小学数学学习过程中，一些必须要接触并掌握的数学知识是抽象不易理解的，这给思维仍处于具体形象化阶段的小学生们在掌握知识点上带来较大挑战。在教学中，教师应该多给学生操作学具、用嘴表述的机会，使其加深对数学的直观理解，从而提高对数学学习的兴趣。谭海霞认为，“兴趣是最好的老师”， 并以盛有不同容量水的量杯组成可以敲出音乐的“杯琴”为例，在愉快氛围中教学生了解计量单位的知识[19]。教师要在教学过程中逐步培养学生对数学学习的兴趣。有了兴趣作支撑，即使遇到再复杂的问题，学生也能够在兴趣的驱使下积极思考。杨秀丽认为，小学生最大的特点就是好奇心强，对于游戏的参与程度高，适当灵活的游戏形式可将枯燥无味的数字知识转化为生动有趣参与程度高的教学活动[20]。采用一定方法进行教学，学生本身的教学积极性被调动起来，自然而然就会对知识的内容产生一定的兴趣，便于其在游戏中获得生活或荣誉，这样能够保证课堂效率达到一个较高的水平，同时对于缩短学生与教师之间的距离感也有很好的作用。

2.创设学习情境。《义务教育数学课程标准》指出：数学源自生活，又回归生活。王庆认为：“如果根据教学内容运用多媒体教学，通过多彩逼真的画面，情感丰富的音响，再加上教师的适当讲解，就能使抽象、枯燥的知识原理变得通俗易懂。”[21]学生正处于由具体形象思维逐步向抽象逻辑思维过渡时期，其思维带有很强的具体形象性。教师要善于尽可能地利用信息技术把抽象的数学知识还原成学生看得见、摸得着、听得到的生活情境，让学生在实践体验中理解和掌握数学知识。[22]俞丹清指出：“在学生遇到学习难点时，教师要有意识地将教材内容与学生的生活实际紧密联系起来，从学生平时生活中看得见、摸得着、想得到的事物入手，积极挖掘生活中的数学进行教学。”[23]该观点有利于培养学生的空间想象能力和创新能力，提高学生的抽象思维能力。生活课程资源的合理运用，能够减少学生对新知的陌生感，使知识与生活紧密相连。部分教师强调将信息技术应用于小学数学教学，从而促进学习情境的创设。

3采用转化策略。张龙海、李安英对转化策略做了概念阐述。“转化，是指解决数学问题时，把一些直接求解较困难的问题，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（较熟悉的问题）”[24]。孙炳锋认为，教师需要不断将转化的方法灌输给学生，帮助学生通过已有的知识经验，化繁为简，化曲为直，力争做到“化新为旧”，罗列知识点的相关联系形成认知体系[25]。一个新知识往往是旧知识的发展和结果。在教学中，教师如能做到“化新为旧”，抓住知识间的“纵横联系”，帮助学生形成知识网络，教师应逐步教给学生一些转化的方法，使他们能用转化的观点去学习新知识、分析新问题，最终达到融会贯通。

4.設置针对练习。胡惠明指出：“通过精心设计、组织与教学内容相匹配的形式多样的练习，如连线选择、填表对比、疑点判断、主观性题等，也可以达到突破教学难点的目的。”[26]在数学课堂教学中，教师应针对数学的学习知识点，运用恰当的解题难点突破的引导策略，让学生通过各种练习题的训练，掌握解题方法，提高学生的数学素养。齐连翠认为，小学数学教学需结合小学生的学习能力和学习特点，必须把讲与练结合起来。教师要亲自设计具有综合性和桥梁性的习题，促进学生形成知识体系，加深对重难点的消化吸收。此外，要设计对比性强的试题来掌握重点，突破难点[27]。不熟则难，熟能生巧。数学学习困难点的转化需以大量练习为手段。另外，该观点强调习题的针对性，对教师的专业水平有较高要求。

对学生学习困难的解决策略多以激发学习兴趣、创设学习情境、采用转化策略、设置针对练习四部分为主。数学学习难点的转化需以培养学生学习兴趣为先导，创设学习情境为方法，采用转化策略为关键，设置针对练习以巩固。另外，可根据特定学情采取数形结合、动手操作、运用比较等策略加以辅助。

对以往研究工作进行梳理分析发现，国内对数学教学难点的研究已有较多成果，多从难点的成因分析、知识本身、突破对策等方面入手，但对难点的确定依据、难点的构成、调查研究鲜有涉及。在今后的研究中，我国学者应多关注学生的真实需求，从学生角度开展相关研究。

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Abstract： Mathematics is a key discipline， which is the basis of students to learn other subjects.Reasonably and accurately？mastering the difficulties of learning mathematics is the basis and foundation of enhancing the students leaning interests and classroom teaching efficiency.This thesis， from the teacher perspective， studies the four aspects， which is the basis of confirming mathematical difficulties in primary school， the form and reason of difficulties， and the solving strategy of it， to summarize the problems that teachers should more study the learning difficulties from the teaching perspective， lack of studying to take students for the research and the inadequate classification of difficulty level.

Key words： teacher； difficulty in the mathematics teaching of primary school； review

（责任编辑：平和光）