解析数学分类讨论思想的实际应用

王翔宇

摘 要：介绍了分类讨论思想的基本概念，指出其基本原则，包括分类标准明确、分类完整、按需求逐层分类、保持分类简洁，并据此论述了分类讨论思想的应用方法。以求解函数、概率和数列的题目作为例子，介绍了在解决数学问题时应当如何采用该思想。分析了分类讨论思想在生活中的指导价值，指出其方法论意义和对逻辑思维锻炼的有利作用。

关键词：数学；分类讨论；应用

一、分类讨论思想概述

（一）基本概念

分类讨论思想提炼于具体的解题过程。某些数学问题的条件不具有唯一性，使得结论也不具有唯一性，比如说某一函数表达式含有字母参数，这些参数的取值变化会使函数的性质产生差异，这将导致题目有不同的结论。这时就需要将已知条件按一定的标准进行分类，将一个大问题分割成一个个小问题，先解决被分割出的小问题，再综合整理小问题的答案，由此确定原题的完整结论。如是即为分类讨论思想的核心内涵。

（二）基本原则

在应用分类讨论思想时有其特定的原则，概括出来有四点：分类标准明确且统一；子问题没有缺漏和重复；复杂问题逐层分类；分类形式力求简单。为了做出正确的分类，首先分类标准要明确且不能混淆，三角形按内角角度分是一种分法，按三边长度关系分则又是另外一种不同的分法，如果把钝角三角形和等边三角形归于一类，那么就会显得混乱，因为此时的分类标准是缺乏一致性的。在确定分类标准后，只有保证子问题既没有缺漏又没有重复，才能保证结果的正确性，针对一些不确定条件较多的问题，需要多层分类，不同层级的分类之间也应保证界限清楚。将问题进行分类是为了解决问题，而很多问题的分类角度不止一种，如何从中选择最简洁、最不易出错的一种，也是分类讨论思想中必须考虑的一部分。

（三）应用方法

根据分类讨论思想的基本原则，逐点对照，避免出错，便是分类讨论思想的应用方法。首先理清问题，确定可供分类的所有依据，然后保证分类的完备性，在进一步的解题中如果有需要则再做下一层分类，最后检查解决方法是否简洁，是否可以优化。

二、数学题目中的分类讨论

（一）求解函数问题

问题：求解以x作为未知数的不等式：sx2-（s+2）x+2<0。

这道题中x是需要求解的未知量，而s则作为一个取值待定的已知量。通过观察可以发现，s是二次项的系数，s是否为0决定了该不等式是一次还是二次；当s不为0时，s的正负又决定了不等号左边的二次函数的图像的开口方向；当s的正负划分好之后，在s>0的情况下，1与2/s的大小关系又影響了最终结果的取值区间，因此，本题一共需做三层划分。

（1）s=0，不等式化为-2x+2<0，解为：x>1；

（2）s≠0，不等式化为s（x-1）（x-2/s）<0

①s<0，不等式化为（x-1）（x-2/s）>0，解为：x>1或x<2/s；

②s>0，不等式化为（x-1）（x-2/s）<0；

i：0ii：s=2，不等式无解；

iii：s>2，解为2/s