绝对值三角不等式的基本应用

湖北省武穴市实验高级中学(435400) 李秀元●



绝对值三角不等式的基本应用

湖北省武穴市实验高级中学(435400)
李秀元●

一、知识背景

若a，b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|①，当且仅当ab≥0时，等号成立.不等式①由于类似于三角形两边之和大于第三边，故称为绝对值三角不等式.其中，实数a，b换成向量a，b，不等式也是成立的，即有|a+b|≤|a|+|b|②，当且仅当a，b同向时等号成立.不等式②将绝对值三角不等式从一维扩展到二维，可以看成不等式①的一种几何背景.更一般地，我们有|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|，|a-c|≤|a-b|+|b-c|.

二、应用举例

基本应用一：求函数的最值

例1 已知a,b>0，函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4，求a+b+c的值.

解 由绝对值不等式得f(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|x+a-(x-b)|+c=a+b+c，所以a+b+c=4.

例2 若对任意实数x，不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a恒成立，则实数a的取值范围是____．

解 因为|x+3|+|x-1|≥|x+3-(x-1)|=4，要使不等式|x+3|+|x-1|≥a2-3a恒成立，则a2-3a≤4，解得-1≤a≤4．

例3 设f(x) =|x-1|+|x+1|．

(1)求f(x)≤x+2的解集；

解 (1)简解得f(x)≤x+2的解集为[0，2].

说明 无论是直接求绝对值函数的最值，还是含参不等式恒成立，其落脚点都是绝对值三角不等式公式的直接套用.

基本应用二：求代数式的最值

例4 对任意x,y∈R，|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为( ).

A.1 B.2 C.3 D.4

解 |x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|≥|x-1-x|+|y-1-(y+1)|=3，选B.

例5 若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值是____.

解 令x=rcosθ，y=rsinθ，θ∈[0,2π)，0≤r≤1.

则|2x+y-2|+|6-x-3y|≥|2x+y-2-(6-x-3y)|=|3x+4y-8|=|3rcosθ+4rsinθ-8|

说明 本题是2015年高考浙江卷的一道填空题，是少有应用绝对值三角不等式的难题，其包含考点较多，可以用线性规划方式求解，但过程略显复杂，本解法应该是比较精彩的.

解 因为F=max{|x2-4y+m|，|y2-2x+n|}，所以2F≥|x2-4y+m|+|y2-2x+n|≥|x2-4y+m+y2-2x+n|=|(x-1)2+(y-2)2+1|≥1.

基本应用三：证明不等式

所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)|≤2|x-1|+|y-1|

例9 已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足：

①f(0)=f(1)=0；

若对所有x,y∈[0,1]，|f(x)-f(y)|

解 不妨令0≤y

选B.

说明 本题有三个关口，一是函数的抽象性，没有具体的解析式，二是对x-y取值的分类标准的把握，三是依据函数端点值构造绝对值三角不等式，突破关口才能顺利解题.

基本应用四：和向量模的最值

解 因为|a|=1，|b|=2，|2a-b|≤2|a|+|b|=2+2=4，所以m>4.

A.6 B.7 C.8 D.9

说明：对于和向量模的最值问题，一般是将向量用坐标表示，进而用代数(三角)方法求解，但用绝对值三角不等式，避免了更多的代数运算，似乎来得更快.

G632

B

1008-0333(2017)10-0022-02