简解2016年高考全国卷Ⅲ文科第21(3)题

北京市丰台二中(100071) 甘志国●



简解2016年高考全国卷Ⅲ文科第21(3)题

北京市丰台二中(100071)
甘志国●

高考题 (2016年高考全国卷Ⅲ文科第21题)设函数f(x)=lnx-x+1.

(1)讨论f(x)的单调性；

(3)设c>1，证明当x∈(0,1)时，1+(c-1)x>cx.

(2)由(1)的结论知，函数f(x)在x=1处取得最大值，且最大值为f(1)=0.

所以当x>0且x≠1时，lnx

(3)设g(x)=1+(c-1)x-cx，可得g′(x)=c-1-cxlnc.

当x0，g(x)单调递增；当x>x0时，g′(x)<0，g(x)单调递减．

又因为g(0)=g(1)=0，所以当00.

即当x∈(0，1)时，1+(c-1)x>cx.

(3)的另证 设h(c)=1+(c-1)x-cx(c>1)，可得

h′(c)=x(c0-cx-1)>0(01).

所以h(c)是增函数，得h(c)>h(1)=0,1+(c-1)x>cx(c>1).

注 本题第(3)问的背景是贝努利(Bernoulli)不等式.

普通高中课程标准实验教科书《数学·选修4-5·A版·不等式选讲》(人民教育出版社2007年第2版)第51页例3介绍的“贝努利(Bernoulli)不等式”的一般情形是：设t≥-1，则当0<α<1时，(1+t)α≤1+αt；当α<0或α>1时，(1+t)α≥1+αt.

在结论“(1+t)α<1+αt(t>0,0<α<1)”中，令t=c-1(c>1),α=x(0

G

B

1008-0333(2017)10-0023-01