非饱和滑带土非线性Burgers蠕变模型

刘汉东， 李梦姿， 杨继红

(华北水利水电大学，河南 郑州 450045)



非饱和滑带土非线性Burgers蠕变模型

刘汉东， 李梦姿， 杨继红

(华北水利水电大学，河南 郑州 450045)

基于非线性流变力学理论，建立了非饱和滑带土非线性Burgers蠕变模型。模型中不仅考虑滑带土非饱和特性-基质吸力对土蠕变特性的影响，同时考虑了与时间、应力状态有关的非线性黏滞体的流变特性，由非线性黏滞体替换Burgers模型中的线性黏滞体。对非饱和滑带土开展三轴蠕变试验，并对试验结果采用最小二乘法曲线拟合，获得了不同基质吸力下的蠕变参数，并将试验结果与Burgers模型拟合曲线以及提出的非线性Burgers模型拟合曲线进行对比。结果表明，采用非线性 Burgers模型能很好地拟合试验结果，且与试验曲线的吻合程度、相关系数明显高于线性Burgers模型。

滑带土；非饱和；蠕变；三轴试验；非线性Burgers模型

滑带土的力学特性对滑坡的稳定性起着重要作用。因降雨入渗和库水位波动使滑带土处于饱和与非饱和状态[1]。大量的事实证明，滑坡变形具有时间效应[2]，滑坡体特别是滑动带土体的蠕变积累到一定程度时，在外界因素的触发下，最终会导致坡体的大面积滑动[3]。因此，研究非饱和滑带土流变特性对滑坡的预测预报具有重要意义。

关于土体流变特性的研究，前人在试验的基础上，通过理论与试验相结合建立了大量的蠕变本构模型[4-6]。但在非饱和土蠕变特性的研究方面，成果相对较少。

赖小玲等[7]以三峡库区滑坡滑带土为研究对象，开展了一系列非饱和土三轴蠕变试验，得到了不同基质吸力、不同偏应力条件下的蠕变试验曲线，并建立了包含基质吸力的蠕变经验模型。邹良超等[8]在Burgers 模型中增加了Kelvin 体，得到了改进的Burgers模型，并拟合非饱和滑带土蠕变曲线得到蠕变模型参数。祝艳波等[9]进行了非饱和土蠕变试验模型的研究， 预测碎屑土夹层的蠕变行为。以上文献多为针对非饱和蠕变模型的研究，考虑模型蠕变参数非线性问题的有关文献并不多见。

非饱和滑带土的蠕变试验曲线表现出和岩石蠕变曲线[10]相似的形状，在加载初期呈下凹形，后逐渐趋向稳定[11]。这是由于在外荷载作用下土体内部的孔隙逐渐压缩，结构调整，土样逐渐压密，试样整体刚度不断增大，抵抗塑性变形的能力增强。而且，在试验中，由于偏应力水平较低，没有出现加速蠕变阶段。事实上，在高偏应力水平下，由于滑带土的特性代表了高塑性和大塑形变形特性，在试验中很难得到加速蠕变曲线，在稳定蠕变阶段，塑性应变已经超过10%，认为此时试样已经发生破坏，因此本文不考虑非饱和滑带土在加速蠕变阶段的特性。

Burgers模型作为一种比较典型的元件模型，主要由Maxwell 模型[12]和 Kelvin 模型[13]串联而成，能够反映土样蠕变曲线在减速和稳定蠕变阶段的黏弹性，并且物理意义明确，直观易懂。Maxwell体用于模拟偏应力条件下蠕变曲线的瞬时蠕变和稳定蠕变阶段，减速蠕变可以用Kelvin体模拟。因此，通常采用Burgers模型来模拟地质材料的蠕变过程。但在拟合过程中，发现拟合值和试验值的误差较大。而文献[14-17]指出，若采用非线性黏弹性蠕变经验公式，如采用幂律型蠕变方程对蠕变试验曲线进行拟合时，吻合程度比采用定常黏弹性模型时要高。

为此，本文提出了考虑基质吸力的非线性Burgers模型，即用非线性黏性元件替代Maxwell 体中的黏性元件，拟合非饱和滑带土的蠕变曲线。

1 非饱和滑带土蠕变模型

1.1 Burgers模型

Burgers模型能够反映土样流变过程中表现出的瞬时弹性、黏弹性和黏性，一维Burgers模型示意如图1所示。

图1 一维Burgers模型

Burgers模型的应力-应变关系为：

σ=σ1=σ2=σ3，

(1)

ε=ε1+ε2+ε3。

(2)

式中：σ1、σ2、σ3分别为图1模型中胡克弹性体、牛顿黏滞体、Kelvin体3部分所受应力；ε1、ε2、ε3分别为模型中的3个部分在正应力作用下的轴向应变。它们的对应关系为：

胡克弹性体

σ1=EΜε1，

(3)

解得

(4)

牛顿黏滞体

(5)

解得

(6)

Kelvin体

(7)

解得

(8)

把式(4)(6)(8)代入式(2),并结合式(1)可得Burgers模型本构方程的解：

(9)

1.2 非线性黏滞体

孙钧[18]指出,对非线性黏弹性问题，其经验公式可写成一种幂律型的蠕变方程：

(10)

图2为非线性黏滞体，其本构表达式为：

(11)

图2 非线性黏滞体

由式(10)与式(11)可得：

(12)

由式(12)作为经验表达式的推导方程，β的量纲会随着n和m的变化而变化。为了在改进的Burgers模型中保持元件模型的物理意义，使黏滞系数的单位统一，引入初始黏滞系数β0、参考应力σ0和参考时间t0，对式(12)进行修正，得到一种表征非线性黏弹性蠕变的非线性黏滞体，其黏滞系数的表达式为：

(13)

将式(13)代入式(11)，可得非线性黏滞体本构方程：

(14)

解得：

(15)

因ε>0，则m<1。

1.3 非线性Burgers模型

图3即为一维非线性Burgers模型。

图3 一维非线性Burgers模型

由图3可直观地看到，该模型是用图2中的非线性黏滞体替代图1中Burgers模型中的黏滞体。因此只需用非线性黏滞体本构方程的解(式(15))代替式(6)代入式(2),即可得非线性黏滞体微分方程的解：

(16)

1.4 三维非线性Burgers模型

根据弹塑性力学，已知物体某点的应力张量σij可分解为应力球形张量σmδij和应力偏斜张量Sij，应变张量也可作同样的分解，即：

εij=εvδij+eij。

这里假设球应力σm仅使物体产生体积改变，且瞬间完成，不能使土样发生蠕变，相应的变形量是εv；而应力偏斜张量Sij仅使物体产生形状改变，并且随时间发生变化，相应的变形量是应变偏量eij。因此对于线弹性的本构方程可以用下式表示：

(17)

式中G、K分别为剪切模量和体积模量。

孙钧[19]认为三维应力状态下，蠕变模型很难用形象化的物理元件表达，但三维蠕变本构方程可以采用类比法通过一维模型直接导出。从一维模型变换到三维模型，只要将相应的符号作以下对调：

σ→Sij，ε→eij，E→G，β→η。

因此非线性Burgers模型的三维形式为：

(18)

1.5 滑带土非饱和、非线性Burgers模型

试样的三轴应力状态可以由3个不变的主应力σ1、σ2、σ3表示：

(19)

其中：

(20)

(21)

Fredlund等[1]提出应添加孔隙气压到一点的应力状态，即引出了基质吸力和净压力的概念。Bishop[20]提出了非饱和土有效应力公式：

(22)

Bolzon等[21]把Bishop有效应力公式中的参数χ用饱和度Sr取代，得到有效应力公式：

(23)

即非饱和土应力状态为：

(24)

由此可得：

(25)

Sij=σij-σmδij=

(26)

把式(25)、式(26)代入式(18)中，即可得到非饱和状态下的非线性Burgers模型。

在非饱和蠕变试验中，轴向应力为σ1，围压σ2=σ3，保持不变。则试样轴向所受应力为：

(27)

轴向蠕变方程即为球张量和轴向偏应力张量之和，即：

(28)

且有

(29)

式中ν为泊松比。由于泊松比对其他参数的拟合效果影响不大，因此本文假定泊松比不变，其值经过多次试算取为0.4，且m<1。

从式(28)中可以看出:在弹性变形阶段，土的非饱和特性直接影响变形量的大小，而在蠕变变形阶段对蠕变变形大小的影响则应体现在对参数的弱化上；需要拟合的参数为K、GM、η0、GK、ηK、m和n。利用式(29)，可以转化为求取EM、ηM、EK、ηK、m和n。

2 非饱和滑带土蠕变试验

2.1 试验方案

为了验证所提出的非线性Burgers模型应用于非饱和滑带土的合理性，采用该模型对三峡库区某滑坡滑带土非饱和蠕变试验数据进行拟合分析。由于很难获得滑坡现场的原状滑带土，所以本试验采用粒径小于2 mm的重塑土样，土样的直径为61.8 mm、高为120.0 mm。试验过程参考文献[22]。

表1 试验方案

2.2 试验结果及分析

图4和图5分别为2组试验条件下获得的蠕变曲线。

图4 SS-1组的蠕变试验曲线

图5 SS-2组的蠕变试验曲线

由图4和图5可以看出,滑带土具有明显的蠕变性，在加载瞬间均产生了一定量的弹性变形，蠕变变形随时间的推移不断增长，在一定的时间段内出现了等速蠕变阶段；基质吸力越大，瞬时弹性变形越小，蠕变变形也越小，这反映了非饱和土的蠕变特性，即外界环境因素的改变致使坡体含水率增加，从而导致滑带土蠕变变形增加，造成坡体长期强度的降低。试样的蠕变变形特性也受到净围压的影响，在偏应力和基质吸力不变时，净围压越大，蠕变变形越小。

由图4和图5还可以看出,2组试验条件下得到的非饱和滑带土蠕变曲线具有良好的相似性。因此，可用相同的应力函数和时间函数来模拟不同应力条件下的蠕变特性。

2.3 拟合结果及分析

本文采用最小二乘曲线拟合法，拟合非饱和蠕变试验曲线。非线性Burgers模型方程和Burgers模型方程与试验曲线的拟合结果如图6所示，拟合参数见表2和表3。

由图6、表2和表3可知：采用非线性 Burgers模型对曲线进行拟合时，相关系数都在0.995以上，较Burgers模型明显提高，且残差平方和明显减小，这表明非线性Burgers模型描述非饱和土的蠕变特性是合理的。

由表2及表3可知：从第1组试验的拟合参数来看，随着基质吸力的增大，即试样含水率的减小，试样的体积模量、剪切模量和黏滞系数均在增大，因此试样的瞬时变形和蠕变变形量减小；从第2组试验的拟合参数来看，随着偏应力的增加，试样的体积模量、剪切模量也在增大，土体变形增大。因此，随着含水率的增加，上覆荷载的增大，坡体瞬时变形和蠕变变形均增大。

图6 非线性Burgers模型与Burgers模型对比图

分组K/kPaGM/kPaGK/kPaηK/(kPa/min)η0/(kPa/min)mn相关系数①454．7975．8039．520．2890．0590．897171．534850．999SS-1②615．42102．5774．060．4560．0830．817431．581380．997③914．27152．38208．480．5870．0890．945091．437220．996①2599．60433．27210．410．5530．6290．871481．573050．998SS-2②2665．88444．31155．212．8190．0970．914661．472090．996③2852．55475．4243．251．5990．0560．898361．512160．998

表3 Burgers 模型拟合参数值

3 结语

1)基于幂律型蠕变方程得到的非线性黏滞体替换 Burgers 模型中牛顿黏滞体的黏滞系数，建立了非线性 Burgers 模型，推导出了非饱和土基质吸力的非线性 Burgers 模型。

2)三峡库区某滑坡滑带土的非饱和蠕变试验结果表明，该滑带土具有较强的蠕变特性，且在不同偏应力荷载与不同基质吸力条件下，蠕变曲线具有良好的相似性，可用相同函数来模拟不同应力条件下的蠕变特性。

3)采用非线性 Burgers 模型对所得试验曲线进行拟合，获得不同基质吸力和不同偏应力条件下的非线性 Burgers 模型参数。模型拟合相关系数在0.995以上，较线性Burgers 模型有明显提高，且残差平方和较Burgers 模型明显减小，表明提出的非线性Burgers 模型比较适合于描述滑坡滑带土的非饱和蠕变特性。

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(责任编辑：乔翠平)

Nonlinear Burgers Creep Model for Unsaturated Soil in Slipping Zone

LIU Handong, LI Mengzi, YANG Jihong

(North China University of Water Resources and Electric Power, Zhengzhou 450045, China)

Based on nonlinear rheological-mechanical theory, a nonlinear Burgers creep model for unsaturated soil in slipping zone was established. In the creep model, the effect of matric suction on the creep behavior of soil, a characteristic of unsaturated soil in slipping zone, was considered, at the same time, the rheological characteristics of nonlinear viscous body related to time and the stress state were also considered, the nonlinear viscous body replaced the linear viscous body in the Burgers creep model. Triaxial creep test for the unsaturated soil in slipping zone was conducted, the experimental results were fitted by the curve of least squares method, and the creep parameters of different matric suction were obtained. At last, the experimental results were compared with the fitting curve of Burgers creep model and the fitting curve of nonlinear Burgers creep model. The comparison results show nonlinear Burgers creep model can better fit the experimental results, for the experimental curves, the coincidence level and correlation coefficient of the fitting curve is obviously higher than those of linear Burgers creep model.

soil in slipping zone; unsaturation; creep; triaxial test; nonlinear Burgers model

2016-10-19

国家科技支撑计划项目(2015BAB07B08)；国家水利公益性行业科研专项(201301034)；国家自然科学基金青年基金项目(41102203)；河南省高等学校青年骨干教师资助计划项目(2014GGJS-067)。

刘汉东(1963—)，男，山东菏泽人，教授，博导，博士，从事岩土力学方面的研究。E-mail:liuhandong@ncwu.edu.cn。

李梦姿(1992—)，女，河南平顶山人，硕士研究生，从事岩土工程方面的研究。E-mail:mzli118@163.com。

10.3969/j.issn.1002-5634.2017.02.009

TV16

A

1002-5634(2017)02-0043-06