繁中求简 简亦有道

沈亚琴

[摘 要] 运算求解是高中数学学习中必备的能力之一，在解决解析几何的相关题目中显得尤为重要. 很多学生在解决解析几何题时总是知难而退，半途而废. 笔者认为，我们要学会优选解题方法，适时调整运算思路，繁中求简.

[关键词] 解析几何；运算求解；简化计算

波利亚说过“掌握数学就是意味着善于解题”，那么何为“善于”，如何做到“善于”，是我们作为数学老师应该思考的问题. 纵观历年高考题、模考题，学生们在解析几何题目的得分总是令人遗憾，很多学生都觉得有解题思路，但是总是被烦琐的计算给难住了，更让人懊恼的是很多学生坚持了计算，则最终的结果不是这错就是那错，题目分没得到却大大消耗了做题时间. 但是运算求解一直是高考考查的数学基本能力，在考试说明中明确规定运算求解的考查要求是：能够根据法则公式进行运算及变形；能够根据问题的条件寻找与设计合理简洁的运算途径；能够根据要求对数据进行估算和近似计算. 那么在解析几何的教学中我们更应该引导学生认真审题，多角度尝试，选择恰当的方法，把握好运算方向，提高学生运算的信心. 下面笔者来谈一谈解析几何中的化简之道.

回归定义，从双基出发

例1：已知椭圆+=1（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与椭圆相交于A，B（点A在第一象限）两点. 若3=，则k=__________.

解法1：因为椭圆离心率为，所以a=2b，半焦距c=b. 故直线AB方程为x=y+b. 联立椭圆与直线方程可得：4+y2+y-b2=0，故y1=，y2=. 由3=可得：3y1=-y2，解得k=.

解法2：==e，设AF=m，BF=3m，da==，db==.

设直线AB的倾斜角α，则cosα==，k=tanα=.

评注：解法1纯粹按照题意，体现了椭圆与直线相交的相关计算，但是再审题后会发现所涉及的两个线段很特殊，是椭圆上的点到右焦点的距离，由此立即联想到第二定义，转化为点到右准线的距离. 利用基本定义，化繁为简.

关注图形特点，不走寻常路

例2：已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P，Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，求m的值.

解法1：把圆方程x2+y2+x-6y+m=0与直线方程x+2y-3=0联立，代入消元，设P（x1，y1），Q（x1，y1），不求坐标，由根与系数关系，设而不求，根据OP⊥OQ即x1x2+y1y2=0，求出m值.

常规解法实现了从条件到结论的数学解题过程，但很多学生不太容易攻克计算这一难关. 细细想想题目中有圆这个优美图形，还有直角三角形、等腰三角形，试试去挖掘一下图形的特点.

解法2：由圆心M坐标及直线l1：x+2y-3=0，求出与直线l1：x+2y-3=0垂直的圆直径所在直线方程l2：2x-y+4=0；再求出两直线的交点N（-1，2）；求得？摇ON=，N为PQ中点；最后由Rt△OPQ的性质ON=PN，坐标P（3-2a，a），求出P，Q坐标为（-3，3），（1，1）.

代入圆方程x2+y2+x-6y+m=0，得m=3.

评注：解法1的思路非常常规，是解决垂直问题的通法，解法2充分关注图形的特点，大大降低了運算量.

利用常用结论，减少繁杂运算

例3：平面直角坐标系xOy中，已知过点1，的椭圆C：+=1（a>b>0）的右焦点为F（1，0），过焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，点B关于坐标原点的对称点为P，直线PA，PB分别交椭圆C的右准线l于M，N两点.

（1）略；（2）略；（3）记M，N两点的纵坐标分别为yM，yN，试问yM·yN是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

这是2014届南京盐城高三一模的18题，当时第三问的得分极低.很多学生解题时都知道运用设而不求的方法，先设出点B的坐标，但是在后期算点A的坐标时比较烦琐，很多学生知难而退，半途而废.其实在算点A的坐标比较烦琐时可以尝试将它先设出来，再结合

常用结论：P是椭圆+=1上任意一点，P1P2是过中心O的任意一条弦，则kPP1·kPP2=-和点差法就可以迎刃而解.

解：（3）当kAB不存在时，易得yMyN=-9.

当kAB存在时，设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（-x2，-y2），所以+=1，+=1，两式相减， 得= -，

所以=-=kPA·kAB .令kAB=k=，则kPA=-，？摇

所以直线PA方程：y+y2=-（x+x2），所以yM=-（x2+4）-y2，

所以yM=--y2. 所以直线PB方程：y=·x，所以yN=，？摇

所以yMyN=-3×-. 又因为+=1，所以4y=12-3x，

所以yMyN=-3×= -9，所以yNyN为定值-9.？摇？摇

评注：在解析几何中有着很多常用的结论，这些结论更多的是图形变化过程中的一些不变的关系，在解题时善于运用这些结论，以不变应万变.

优选解题方法，规避烦琐运算

例4：已知椭圆E：+y2=1的左、右顶点分别为A，B，圆x2+y2=4上有一动点 P，P在x轴的上方，C（1，0），直线PA交椭圆E于点D，连结DC，PB.（1）略；（2）设直线PB，DC的斜率存在且分别为k1，k2，若k1=λk2，求λ的取值范围.

解法1：设P（x0，y0），直线PA的方程为y=（x+2），代入椭圆方程E：+y2=1，得x2+（x+2）2-4=0.

因为x+y=4，所以x2+（x+2）2-4=0，

整理得（10-3x0）x2+（32-16x0）x+24-20x0=0.

此方程有一根为-2，设D（x1，y1），则x1=，

代入直线PA方程，得y1=.

则k1=，k2===.

因为k1=λk2，所以x0=.

因为-2

解法2：因为点P在x轴的上方，所以易知k1·k2≠0. 设直线

AP的斜率kAP=-，则与直线CD：y=k2（x-1）联立，得D，. 将点D的坐标代入椭圆E：+y2=1，得（k1k2）2+4（k1k2）-12k=0.

两边同时除以k，得k=12-4=12-4λ>0，所以λ<3.又因为λ=≠0，

所以λ的取值范围为（-∞，0）∪（0，3）.

评注：解决直线与圆锥曲线的一种通法就是设而不求，整体消元，那么第一步究竟设哪个点.点P是一切变化的根源，解法1也在情理之中. 但是点D也非常特殊，它不仅是直线AD与椭圆的交点，同时也是直线AP，CD的交点. 简单一点说直线AP，CD和椭圆三线共点，那么为什么一定要联立直线AP与椭圆求点D，这是为了优化一下解题方法，联立直线AP，CD算出点D，在代入椭圆方程，不仅可以解题，而且简化了计算.

纵观上述题目，解析几何中的计算烦琐是公认的，但有时的烦琐却是人为的. 在解析几何的教学中要加强学生数学思想方法的指导和训练，积极引导学生多角度考虑，发现解析几何的本质，并通过问题不同解法的比较分析不断积累解题经验，若能长期坚持定能收到良好的效果.