一个问题引出的“微专题”

张海峰

[摘 要] 利用学生错解、混淆点开展微专题教学，激发学生的探索欲望，剖析致错原因，以基本概念为抓手，逐步延伸拓展，循序渐进地引导学生总结概括式子的几何意义，再引导其思考一类函数的结论，培养学生分析问题、解决问题的能力，让学生智慧的火花绽放开来.

[关键词] 微专题；数形结合；绝对值

微专题教学是以某个“点”为中心，从该知识的基本概念、基本原理、基本规律入手，内化知识，构建结构进行知识迁移，整合并能运用基本概念和原理解决实际问题的一种“小切口”教学方法. 利用错误资源开展微专题教学，可以剖析致错原因，挖掘错误根源，追溯问题的本质，对已获得的知识再现和再认知，“由误至悟”，有效培养学生分析问题、解决问题的能力，提高解题的“免疫力”.

节外生枝

在一堂试卷评讲课上，笔者给学生评讲这样一道题：

（2014年安徽卷）若函数f（x）=x+1+2x+a的最小值为3，则实数a的值为

（ ）

A. 5或8 B. -1或5

C. -1或-4 D. -4或8

这道题学生的错误率很高，初看这道题入手很容易，但是如果选择的方法不好，做起来就很麻烦，笔者打算利用分类讨论去绝对值讲解这道题，解法如下：

解：（1）当a≥2时，

f（x）=-3x-1-a，x≤-，x-1+a，-

由图像1可知，当x=-时，f（x）min=f-=-1=3，可得a=8.

（2）当a<2时，f（x）=-3x-1-a，x≤-1，-x+1-a，-1

？摇由图像2可知，当x=-时，f（x）=f-min=-+1=3，可得a=-4.

综上可知，a的值为-4或8.

在讲解这个方法前，笔者先提问了几个做对的学生，目的是想看看学生是用什么方法做的，然后再引入要讲的方法.以下是其中一个学生的思路和做法.

生甲：做这道题时我想起以前做过x+1+x-1≥a恒成立的问题，其中x+1、x-1可理解为数轴上的点到-1、1的距离，x+1+x-1≥a恒成立，就是让a小于等于数轴上的点到-1和1的距离之和的最小值，利用端点代入就好了，所以我这道题就用端点代入进去，就对了……

教师：在本题中有两个端点，你选择代入的是哪一个端点？

生甲：我选择了x=-时， a=-4或8.

教师：你为什么选择x=-代入，而不是x=-1？

生甲：因为……，我曾做过一道类似的题目（2015年重庆卷：若函数f（x）=x+1+2x-a的最小值为5，则实数a=______），就是将x=a代入得最小值，所以这道我也就选择了x=-代入.

通过了解，笔者发现有部分学生像学生甲这样思考，学生甲绕过了讨论去绝对值研究不等式的方法，从绝对值的几何意义思考，这给了我们一个惊喜，学生不拘一格的解题思路与方法、打破常規的思维与策略，充分说明了特殊方法解答选择题的优势.但是有一个问题笔者感到困惑，真的都是代含有未知量的端点吗？到底是巧合还是必然？它们的解决方法到底有无规律可循？如何剖析，挖掘问题的本质内涵，理清问题的来龙去脉，笔者感到，这是一个优化学生思维品质，培养学生创新意识与创造能力的契机.

微专题教学设计

？摇经过课后思考，笔者心里已经有底了，为了让学生掌握此类问题，认清问题的本质，笔者基于学生已学习的知识和解题中的思维障碍专门设计了一个微专题，现将教学过程叙述如下.

1. 探究引领，探寻思路

笔者沿着学生甲的思路，探索用绝对值的几何意义解决此题，为找准探索方向，突破问题瓶颈，设置以下三个探究题.

探究：（1）函数f（x）=x+1+x-2的最小值为________.

（2）函数f（x）=3x+1+x-2的最小值为________.

（3）函数f（x）=x+1+3x-2的最小值为________.

从绝对值的几何意义出发，在学生的最近发展区设计问题，形成递进的问题串，学生通过探究发现，这类函数的最小值取得时刻会随着变量前系数变化而改变，函数f（x）=x+1+2x+a与函数f（x）=2x+1+x+a取得最小值时刻分别是x=-a与x=-1，并不固定在是含有未知量的端点处.

2. 问题引导，追溯本质

？摇有针对性地选择问题，让学生带着问题在设问和释问的过程中参与了知识的建构，了解知识的来龙去脉，从感悟和体验中获得能力.

问题：（1）实数a的绝对值a的几何意义是什么？

（2）a-b的几何意义是什么？

（3）a-b+a-c的几何意义是什么？

？摇学生通过问题引导，回忆已有知识，实数a的绝对值a的几何意义就是数轴上坐标为a的点A到原点的距离；而a-b的几何意义是数轴上坐标为a的点A到坐标为b的点B之间的距离；那么a-b+a-c就是数轴上坐标为a的点A到坐标为b的点B与坐标为c的点C之间的距离之和.

3. 实践小结，提升思维

问题：若函数f（x）=x+1+2x+a的最小值为3，则实数a的值为________.

学生甲小结：数轴上坐标为x的点C到坐标为-1的点A的距离与坐标为-的点B的距离的2倍的和. 画出数轴，关注坐标为x的点C在哪距离会取得最小值.

如图3所示，坐标为x的点C在点A的左边，或在点B的右边时，距离不可能达到最小，所以点C一定落在线段AB上. 由于是到点B的距离的2倍，所以应让点C靠近点B，当C在B处时距离最小. 当点C在线段AB上时，x+1+2x+a=x+1+2x+=x+1+x++x+=AB+CB，即当点C在B处时，距离最小. 不等式左边的最小值为-1≥3解得a=-4或8.

？摇小结：函数f（x）=mx-a+nx-b（m>0，n>0）的最小值，是代入以{m，n}max为系数的端点以求其最小值.

课堂上利用学生已有的知识体验，从有矛盾冲突的问题中激发学生的探究热情，训练学生在数学解题的过程中运用思想方法，引导学生归纳总结解决这类题的一般规律.

4. 变式迁移，深化思维

数学问题的解决是有规律的，借助问题变式，引导学生开展探究活动，既可以调动学生学习数学的積极性和主动性，又能有效地培养学生分析问题和解决问题的能力，让学生在变式活动中发现规律、总结规律，使学生不只是学会，更能会学，从而促进学生的可持续发展.

在变式教学中，为揭示问题本质属性，掌握解决问题的一般规律，笔者对构成问题的各个要素进行局部调整，得到形式虽异但解法类似的变式问题，便于学生理解，学会变通，提高学生抽象、归纳、概括的能力.

变式1 函数f（x）=3x-1-x+1的值域为________.

变式2 函数f（x）=3x+1-x-1的值域为________.

变式3 函数f（x）=x-1-3x+1的值域为________.

变式4 函数f（x）=x+1-3x-1的值域为________.

笔者要求学生画出几个函数的图像求解，并观察规律，学生很快发现含绝对值函数的值域的端点值在零点处取得，通过对函数图像的进一步分析，师生共同探究出如下规律：

（1）f（x）=mx-a+nx-b，若m>n>0，则f（x）≥f（a）=na-b；

（2）f（x）=mx-a-nx-b，若m>n>0，则f（x）≥f（a）=-na-b；

（3）f（x）=mx-a-nx-b，若n>m>0，则f（x）≤f（b）=ma-b.

最本质的往往是最简单的，我们通过对简单题目充分思考，可以让学生从本质上认识题目，加深对相关知识的理解，通过由特殊题目探究到一般本质规律，拓宽知识的深度.

教学反思

高中数学新课程倡导：课堂教学应丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法，使学生学会自主学习，发展学生的科学探究能力，帮助学生形成终身学习的意识和能力.

在本次微专题设计中，引例是基于学生学情，呈现的是这类题的核心部分，也是难点，由于学生线性绝对值不等式的处理方法有了一定的掌握，因此，这个题处于学生的“最近发展区”，是可以通过努力解决的. 为了引导学生解决这个难点，首先将问题设计在学生的混淆点处，与学生已有结论相矛盾，激发学生的探索欲望，再回归问题的本质，返回到最基本的概念上，以基本概念为抓手，逐步延伸拓展，循序渐进地引导学生总结概括式子的几何意义；再引导其思考一类函数的结论，这样就站在一个高度来审视这类问题. 学生从心理上也无惧这类问题，让学生活跃的思维自由地、充分地展示出来，同时利于学生对这个问题的深层次把握，让学生智慧的火花绽放开来.

在今后的教学中，对高考重点、热点问题的强化和对知识盲点的引导，或是一种新的设题方式，抑或是变化的思维角度，都可以通过小角度、小切口的微专题教学来促使学生发现问题所在，寻找、挖掘题目的背景、本质，帮助学生形成良好的认知结构，活化知识的运用，提升学生解决问题的能力.