解决立体几何综合问题的常用四个方向

纪尧兵

[摘 要] 立体几何中的动态问题综合性强，能有效考查学生对所学内容灵活应用的能力. 求解此类问题应立足基础，充分利用线面平行、垂直原理，平面几何性质等基础知识，以及常用解题技巧.

[关键词] 立体几何；动态几何；高考数学

题目：如图1所示，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1， E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′，DD′交于M，N，设BM=x，x∈（0，1），给出以下四个命题：

①四边形MENF为平行四边形；

②若四边形MENF面积s=f（x），x∈（0，1），则f（x）有最小值；

③若四棱锥A-MENF的体积V=p（x），x∈（0，1），则p（x）是常函数；

④若多面体ABCD-EMFN的体积v=h（x），x∈，1，则h（x）为单调函数.

其中假命题为（ ）

A. ① B. ② B. ③ D. ④

把握平行、垂直原理

空间中的平行关系包括：线线平行、线面平行、面面平行.问题处理中要准确把握三者之间相关推导关系.

对于命题①，利用面面平行的性质即可推出线线平行.

因为平面ADD′A′∥平面BCC′B′，平面EMFN∩平面ADD′A′=EN，平面EMFN∩平面BCC′B′=MF，所以EN∥NF.

同理EM∥NF，所以四边形EMFN为平行四边形，故命题①正确.

变式1：如图2所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱CC1上的一个动点，平面BED1交棱AA1于点F，则下列命题中假命题是___________.

①存在点E，使得A1C1∥平面BED1F

②存在点E，使得B1D⊥平面BED1F

③对于任意的点E，四棱锥B1-BED1F的体积均不变

对于命题①，欲使A1C1∥平面BED1F，只需在面BED1F内找到一条直线与A1C1平行即可，易知若点E为CC1的中点，则A1C1∥EF，故①正确.

对于命题②，如图3，连接B1D，A1D. 设B1D⊥平面BED1F，則B1D⊥D1F. 易知A1D为B1D在平面ADD1A1内的射影，由射影定理知A1D⊥D1F. 显然不成立，故选项B错误.

命题③略.

评析：针对存在型问题的处理，可通过先假所要判断的点、线、面存在，再通过探究来验证其真伪.若探究可得满足命题的关系存在，则命题为真. 反之为假.

借助平面几何性质

点、线、面是构造空间几何体的基本元素，因此平面几何中的某些线、面原理可直接应用于立体几何中.

对于命题②，因为AC⊥平面DBB′D′，EF∥AC，所以EF⊥平面DBB′D′，MN？奂平面DBB′D′，所以EF⊥MN，所以四边形MENF的面积S=EF×MN. 因为EF为定值，所以当M，N分别为BB′，DD′的中点时有最小值. 故命题②正确.

变式2：如图4所示，正三棱锥V–ABC中，侧棱长为2，且∠AVB=∠BVC=∠CVA=30°. 从点A作一截面，使截面与VB，VC相交于E，F两点，则截面三角形AEF周长的最小值为___________.

解析：截面三角形AEF周长的最小值，即为从点A出发绕侧面一周回到点A的最短距离.若将正三棱锥的侧面沿侧棱VA剪开后展开，如图5，则所求的最短距离即为该平面图形中点A与A′的连线长.

因为∠AVB=∠BVC=∠CVA=30°.

所以∠AVA′=90°，而VA=VA′=2，

所以AA′=2，即截面三角形AEF周长的最小值为2.

评析：在某些几何问题的求解中，通过将几何体的表面沿着某些线剪开，将其展开为平面图形，然后利用平面几何知识求解，常可有效降低问题求解的难度.

用好分割策略

对于命题③，由图易知VA-MENF=VN-AEF+VM-AEF，因为S△AEF为定值，M，N到平面AEF的距离为定值，所以A-MENF的体积为定值，即p（x）为常函数，故命题③正确.

变式3：如图6所示的几何体为一简单组合体，在底面ABCD中，∠DAB=60°，AD⊥DC，AB⊥BC，QD⊥平面ABCD，PA∥QD，PA=1，AD=AB=QD=2.

（1）求证：平面PAB⊥平面QBC；

（2）求该组合体的体积.

解析：（1）略.？摇？摇

（2）如图7所示，连接BD，过B作BO⊥AD， 因为PA⊥平面ABCD，BO？奂平面ABCD，所以PA⊥BO. 因为PA⊥BO，AD⊥OB，PA∩AD=A，所以BO⊥平面PADQ. 因为SPADQ=3，所以VB-PADQ=SPADQ·BO=. 因为QD⊥平面ABCD，S△BDC=，所以VQ-BDC=S△BDC·QD=，所以该组合体的体积为VB-APQD+VQ-BDC=.

评析：分割法是求立体几何体积问题的有效策略. 通过分割将所求几何体分解为易于求解的几个部分，分别求解后再相加即可解决问题. 问（1）要证两个平面垂直，转化为证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直；问（2）的关键根据条件利用分割法化整体为部分再分别求解即可.

构造目标函数

对于命题④，如图8过点M作平面MF′N′E′∥平面ABCD，分别交CC′，DD′，AA′于点F′，N′，E′，则多面体ABCD-EMFN的体积V=VABCD-E′M ′F′N ′+VM-E′N′NE+VM-F ′FNN ′，而VABCD-E′MF′N′=1×1×x=x，VM-E′N′NE=×1-2x+-x×1×1=-x，

VM-F′FNN′=×1-2x+-x×1×1=-x，

所以V=x+-x=为常数，故命题④错误.

故选D.

变式4：（2016年浙江卷）现需要设计一个仓库，它由上、下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部分的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1（如图9所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍.

（1）若AB=6m，PO1=2m，则仓库的容积是多少；

（2）若正四棱锥的侧棱长为6m，当PO1为多少时，仓库的容积最大？

解析：（1）因为PO1=2m，则OO1=8m，VP-A1B1C1D1=SA1B1C1D1·PO1=×62×2=24m3，VABCD-A1B1C1D1=SABCD·OO1=62×8=288m3，V=VP-A1B1C1D1+VABCD-A1B1C1D1=312m3，

故仓库的容积为312m3.

（2）设PO1=xm，仓库的容积为V（x），则OO1=4xm，A1O1=m，A1B1=·m.

VP-A1B1C1D1=SA1B1C1D1·PO1=×（）2×x=（72x-2x3）=24x-x3m3，

VABCD-A1B1C1D1=SABCD·OO1=（）2×4x=288x-8x3m3，

V（x）=VP-A1B1C1D1+VABCD-A1B1C1D1=24x-x3+288x-8x3=-x3+312x（0

当x∈（0，2）时，V′（x）>0，V（x）单调递增；

当x∈（2，6）时，V′（x）<0，V（x）单调递减.

因此，当x=2时，V（x）取到最大值，即PO1=2m时，仓库的容积最大.

评析：解答与立体几何最值有关问题的常用策略是根据题目条件构造目标函数，再利用函数最值的求解方法解答，如配方法、均值不等式法、导数法等.另外要注意函数的定义域应结合立体几何的实际情况.