这样的直线为什么不存在

田卫东

[摘 要] 用“点差法”求解双曲线的“中点弦”问题时，常常会出现“中点弦”时而存在，时而又不存在的情况，本文通过分析研究，发现了“中点弦”不存在的原因，同时给出如何运用数形结合判断“中点弦”是否存在的方法.

[关键词] “双曲线”；“中点弦”；“点差法”；“思考研究”

在求解圆锥曲线的一类问题时，若题目中给出直线与圆锥曲线相交被截得线段中点坐标的时候，把直线和圆锥曲线的两个交点坐标代入圆锥曲线的方程，然后将两个等式作差，得到一个与弦的中点坐标和斜率有关的式子，从中求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程. 通常我们将与圆锥曲线的弦的中点有关的问题称之为圆锥曲线的“中点弦”问题，把这种代点作差的方法称为“点差法”. 对于“中点弦”问题，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以减少解题的运算量，优化解题过程. 因此，在直线与圆锥曲线的教学中，若涉及弦的中点问题，老师们都喜欢教给学生这种解题方法，学生们也会从各种教辅资料中学会这种方法. 近日，我们正在学习双曲线的有关内容，用这种方法处理直线和双曲线的“中点弦问题”时，出现了一些“小麻烦”，从而也引起了笔者的一些思考.

学生的疑问

在双曲线的习题课上，学生遇到了这样一个问题：已知双曲线方程-=1.

（1）过点M（1，1）的直线交双曲线于A，B两点，若M为弦AB的中点，求直线AB的方程.

（2）是否存在直线l，使1，为l被该双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

由于学习椭圆时已经涉及了“中点弦”的问题及解法，所以大部分学生使用了“点差法”求解，少部分学生根据直曲联立，利用韦达定理及中点坐标公式进行求解，但解题速度较慢，用“点差法”求解的学生很快解出了结果.

用“点差法”求解如下：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x-2y=4，x-2y=4，两式相减得（x1+x2）（x1-x2）-2（y1+y2）（y1-y2）=0，所以=. 又因為x1+x2=2，y1+y2=2，所以=，所以直线AB的方程为y-1=（x-1），即x-2y+1=0.

同法可解第（2）题中直线l的方程为：2x-2y-1=0. 但由方程组x2-2y2=4，2x-2y-1=0得2x2-4x+9=0. 根据Δ=-56<0，说明所求直线不存在.

从上面两个问题的求解过程来看，似乎天衣无缝，但结果却大相径庭.于是，一部分学生便有了疑问：用点差法求解椭圆“中点弦”问题的时候，直线都是存在的，从来不用检验，为什么双曲线的“中点弦”却要进行检验呢？下课后，一名成绩优秀的学生更是直接表达了自己的困惑：老师，我们求解的过程是正确的，可是直线为什么不存在呢？带着这个问题，笔者回到了办公室，经过反复思考计算、画图分析，终于得知了直线不存在的原因.

直线去哪儿了

我们以双曲线-=1为例进行说明. 设直线l与所给双曲线的交点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），则有b2x-a2y=a2b2，b2x-a2y=a2b2，两式相减得b2（x1+x2）（x1-x2）-a2（y1+y2）·（y1-y2）=0，所以==，即kAB=.

再考察双曲线-=1的共轭双曲线-=1，设直线l与它的交点A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），则有a2y-b2x=a2b2，a2y-b2x=a2b2，两式相减得a2（y1+y2）（y1-y2）-b2（x1+x2）（x1-x2）=0，所以==，即kAB=.

我们发现，这两个结果竟然完全一样！显然，用“点差法”求解双曲线的“中点弦”问题时，所求得的kAB=并不仅仅是直线l与双曲线-=1的“中点弦”的专利，同时也是l与双曲线-=1的“中点弦”的运算结果. 从而也就找到了直线l为什么时而存在，时而又不存在的原因，原来是共轭双曲线在“作怪”！由此不难得知，虽然第（2）题中所求的直线l对于双曲线-=1不存在，但对于它的共轭双曲线-=1而言，“中点弦”却是存在的.

可以这样判断“中点弦”是否存在

除了可以通过直曲联立，用一元二次方程根的判别式判断“中点弦”是否存在以外，我们还有没有别的方法可用呢？下面，在同一坐标系中分别画出双曲线-=1和-=1. 如图1所示：阴影部分是满足-<1和-<1的所有点构成的区域，又被两条渐近线分成了上、下、左、右四部分，把它们分别记为区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ.

下面，我们先给出一个结论.设直线l的方程为：y=kx+m，代入方程-=1中可得（b2-a2k2）x2-2kma2x-a2（m2+b2）=0，其中Δ=4a2b2（m2+b2-a2k2），x1x2=.

结论1：当b2-a2k2>0，即k2<时，Δ>0且x1x2<0，这说明直线l一定与-=1的左、右两支各交于一点；同理可得结论2：当b2-a2k2<0，即k2>时，l一定与双曲线-=1的上、下两支各交于一点.

设弦AB的中点M（x0，y0）是区域Ⅰ或区域Ⅲ内的任意一点（不包括边界），则（x0，y0）满足以下三个条件：①-<1；②-<1；③a2y-b2x>0. 因为kAB=，且a2y-b2x>0，所以k=<，这就说明直线l与双曲线-=1的左、右两支各交于一点. 同理，当M（x0，y0）是区域Ⅱ和区域Ⅳ内的任意一点（不包括边界）时，k>，直线l与双曲线-=1的上、下两支各交于一点.这样，我们就知道本文开始时（1）（2）两个问题的结果为何不同的原因了，因为点M（1，1）在区域Ⅰ，而N1，在区域Ⅳ.

综合以上分析，用“点差法”求解双曲线的“中点弦”问题时，除了可以用一元二次方程根的判别式验证满足条件的直线是否存在以外，还可以通过作图，根据弦的中点M（x0，y0）的具体位置判断“中点弦”是否存在，这样就会减少运算量，同时也是对“点差法”求双曲线“中点弦”的一点补充和完善. 一般而言，这类题目中所求弦的中点基本上都在上述四个区域内，若弦AB的中点M（x0，y0）不属于上述四个区域，即M（x0，y0）满足->1或-<1时，也可以按照上面的方法推导相关结论.

后记

很多的参考资料上都有直线和双曲线的“中点弦”这类题目，它们往往这样告诉学习者：用“点差法”求解双曲线的中“中点弦”问题时，要注意对结果进行检验，但从来没有解释求得的直线为什么会不存在. 本文通过对该问题的分析，希望学生在学习数学的过程中要勤于思考、善于研究，不能过分地依赖各种教辅资料，更不要把数学的学习仅仅当作背公式、记结论、按套路解题. 事实上，在平时的学习过程中，针对一些典型问题多分析、多思考、多钻研，做到相似问题一般化，一般问题特殊化，多进行一题多解、多题一解的训练……，这样才能提升自己的数学思维品质，提高自身的数学素养，从而很好地完成高中数学的学习任务，也为将来能够适应大学数学的学习打下良好的基础.