利用一题多解、一题多变来提高初中学生的数学解题能力

苏淑妮

（广东省惠州市惠阳区崇雅中学 广东 惠州 516000）

【摘要】 数学课程标准中，要求使学生站在不同角度，探索分析和解决问题的方法，此外，教育心理学也指出：问题解决有两种类型：一是常规性问题解决；二是创造性问题解决。通过一题多解、一题多变训练，使学生能够体验到解决问题的多样性方式，能够掌握分析及解决问题的基本技巧和方法，使所学的知识得到活化，融会贯通，开阔思路，培养学生的发散、创新思维能力。

【关键词】 一题多解 一题多变 初中数学 发散思维

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2017）04-173-01

先观察以下4个例题，是初中数学练习过程经常碰到的，具体的解答过程后文有详细的描述，以此四个例题用以论述本文的观点。

例1：相切两圆半径分别是4和6，求圆心距。

例2：在几何题型中：直角三角形两边长3和4，求第三边。

例3：一道求证题：顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形

变式1：顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形

变式2：顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形

变式3：顺次连接正方形各边中点所得的四边形

变式4：顺次连接什么四边形各边中点可以得到平行四边

变式5：顺次连接什么四边形各边中点可以得到矩形

变式6：顺次连接什么四边形各边中点可以得到菱形

例4：在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点.求证：CE⊥BE.

一、一题多解、一题多变帮助学生循坏往复调动所学知识，强化记忆

在学习生涯中，知识点是解题的基础和灵魂，千千万万的题目是从知识点出发延伸设计出来问题考察学生的。由于时间和空间有限，学生不可能做完所有的题目，对于教师也不可能讲解完所有的题目。而对于数学，单是一道题目中也不可能只有一个知识点的考察，例题1这道题中涉及的知识点有：相切圆、半径、圆心距，最终的问题虽然是求圆心距，但是如果没有正确的对于圆、半径以及相切的概念，那么也就无从下手。当然答案需要分内切和外切两种情况来考虑，这又需要解题者脑海中调动关于内切和外切的知识，才能准确解答。例题2也是相似的情况，首先有直角三角行的概念，运用会勾股定理，同时考虑到第三边是斜边、直角边两种情况才能正确解答。此外，有的学生也会联想到：三角形任意两边长的和会大于第三边，这一三角形的知识。从例题3中，由一个题可变换出许多变式，又都是相互联系的。核心的知识点是平行四边形的定义以及相关的性质，学生在看到这样的一类题就应该充分加以运用解题，便又是一次知识回顾的过程。

二、一题多解、一题多变培养学生对所学知识的综合灵活运用以及发散思维的能力

在同一个题目下，变化问题，从而训练学生解答各种题型的综合能力，培养学生思维的适应性和灵活性，有助于学生创新思维品质的养成。例题4中，可以通过3种解答方法解答，（见下文）。充分涉及了多个知识点的综合运用，灵活有条理，以此为例，将得到良好的发散思维的效果，同时起启发作用，将得到良好的教学效果。例题3种还可以经以下变式：将求证CE⊥BE，改为选择题，变换为下列哪些条件可以求证结论；也可以作为一道开发性的填空题，让学生添加一个条件即可以得到结论。同样的题目，求证答案不一样，思考的方向不一样。给以了学生更多的思考空间，也培养了学生逆向思维能力和创造性思维能力。

解答1：延长CE交BA的延长线于点G，那么可得△CDE≌△AEG，

则CE=GE，AG=1，又AB=2，所以BG=3，又因为BC=3，所以BC=BG，在△BGC中，由三线合一定理得：CE⊥BE.

解答2作CF⊥AB，在Rt△CBF中，由勾股定理易得：=8，又E是AD的中点，故DE=AE=，分别在Rt△CDE和Rt△BEA中，由勾股定理易得：在Rt△CBE中，由勾股定理的逆定理可得：△CEB是Rt△，即CE⊥BE得证。

解题3：取CB的中点F，连结EF，则EF是梯形CDAB的中位线，易得EF=2，则EF=CF=BF，则∠CEF=∠FCE，∠FEB=∠FBE，在△CEB中，由三角形内角和定理易得∠CFB=90°，即CE⊥BE.

三、一题多解、一题多变培养学生多角度思考问题能力，严谨的思维

从以上例题同时可以培养学生多角度，多方探讨的能力，严谨思维。例题1，例题2，若学生只从一个角度：内切或者外切，第三边是斜边或者直角边，那么对于此类题型只会得到一个结果。如果在长时间的训练，学生会对此题型形成一定的思维定式，多角度思考问题，在大题主观题中不论何种解题方法，思维是清晰严谨的，有理有据。经过对对同一数学问题的结论多种途径方法探讨。在教师启发和引导下，学生从不同角度、不同思路，运用不同的方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题，充分调动学生思维的积极性，提高他们综合运用已学知识解答数学问题的技能技巧；开阔了学生的思路，引导学生灵活地掌握知识的纵横联系，培养和发挥学生的严谨思维能力。在对待其他的问题中也能如此思路解决。

综上，讲述了一题多变，一题多解对学生多角度思考，逆向思维、灵活运用知识、综合运用知识，培养创造性思维和发散思维有着重要的意义。教师在平常教学中，应该多运动变式，拓宽问题的深度和广度，注重对学生上述学习习惯与能力的培养。

[ 参 考 文 献 ]

[1]徐国安.借助一题多解提升学生的解题能力[J].科技信息2017，19：346-347.

[2]高卫国.注重一题多解，一题多变培养学生发散思维能力[J].林区教学2010，6：36-40.

[3]譚珊.利用多题一解和一题多解提高学生数学解题能力[J].生活教育2014，14.