n阶行列式第一课的教学探讨

文/毛元福 孙小迎

n阶行列式第一课的教学探讨

文/毛元福 孙小迎

《线性代数》是理工科大学学生的一门必修基础数学课程，生产实际和科学研究中有许多问题可以归结为线性方程组，行列式正是对线性方程组的研究中建立起来的。行列式的计算是线性代数中的重点难点，特别是n阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。因而对于初学线性代数的同学来说，行列式的第一课尤为重要，既要让学生较容易的掌握行列式的基本概念，还要激发学生进一步学习行列式强烈愿望。本文就行列式的第一课做了一些结构性的教学探索。

n阶行列式的计算是线性代数中的一个重要问题，也是一个很复杂的问题，其技巧性很强.理论上任何一个n阶行列式都可以按定义计算，但是当n较大时，直接按定义计算而不借助于计算机几乎是不可能的.因此，探寻n阶行列式的计算方法是十分必要的.

《线性代数》第一课一般安排的教学任务是一些基本的概念，比如排列，标准排列，逆序数，排列的奇偶性，对换，在此基础上引入二、三阶行列式的概念及其计算方法，这些概念学生也容易理解，但是由于学生还不了解二、三阶行列式的运用领域，这个时候学生只是被动接受二、三阶行列式的计算方法，也不能调动学生学习《线性代数》新知识的积极性和兴趣。

为引起学生的注意力和探索新知识的积极性，《线性代数》第一课可以做一些结构性的调整。首先导入一个没有难度系数的二元一次方程组，和学生们一起运用熟知的加减消元法很快地求得方程组的解为，再引出二元一次方程组的一般形式，这里的x1，x2是未知数，a11，a12，a21，a22，b1，b2，均为常数，当a11a22-a12a21≠0时，同样运用加减消元法容易得到方程组的解为，很显然这可以作为二元一次方程组的一般形式在a11a22-a12a21≠0时的求解公式，其形式复杂，难于识记。

这时我们把二元一次方程组一般形式的未知数的系数a11，a12，a21，a22，按规律写成数表，并记D==a11a22-a12a21≠0，也就是引入一种新的运算法则（这个法则有些学生在初中见过），数表中的4个元素是有二元一次方程组的一般形式未知数的系数构成的二行二列矩形数表，把这个二行二列矩形数表就定义为二阶行列式，它的值就按D==a11a22-a12a21计算，即把左上角到右下角称为主对角线，把右上角到左下角称为副对角线，二阶行列式的值就等于主对角线两个元素的积减去副对角线两个元素的积，这就是二阶行列式运算的对角线法则。

如果把b1，b2同样看做一列去替换D=中的第一列可得D1==b1a22-a12b2，把b1，b2同样看做一列去替换D=中的第二列可得D2==a11b2-b1a21，因而二元一次方程组的一般形式的解就可以简单地表示为x1=， x2=，容易识记，但运算量并未减少，体现不出这个公式的优势。这时提出解三元一次方程组能否运用这种思想方法呢？启发学生思考。

其中主对角线上3个元素的积取正号，副对角线上3个元素的积取负号（提示学生符号还有其它方法来确定，为后面讲述逆序数等概念做铺垫），且3个元素都取自不同行不同列，再将b1，b2，b3作为一列替换D中第一列得到D1=，替换D中第二列得D2=，替换D中第三列得D3=，当D≠0时，可得这个三元一次方程组的解：x1=，x2=，x3=，其正确性可由来验证，运算量显然增加了，尤其是对角线法则不能适用16个元素排成的四行四列的四阶行列式D=及n2个元素排成的n行n列的n阶行列D=式的计算，而前面推导二元线性方程组、三元线性方程组解的公式形式却可以类比运用到四元线性方程组及n元线性方程组。

此时直接引出定理Cramer法则：设有线性方程组

由定理Cramer法则让学生们确信运用行列式解n元线性方程组是一个行之有效的法则，到这里学生们明白了学习行列式的意义，因为只要能计算n阶行列式D的值，就可以求解n元线性方程组，从而能激发学生们学习n阶行列式D计算的浓厚兴趣。这个时候回过来讲解诸如排列，标准排列，逆序数，排列的奇偶性，对换等一系列基本概念，学生们表现更期盼学习下一节行列式的性质与计算，变被动学习为主动学习。

（作者单位：南昌工学院 民族教育学院）