挖掘运动过程 走出应用误区

吴静

摘 要：学生在一次函数应用的解题过程中经常会走入一些误区。为了正确解决函数应用问题，教师应该在教学中充分挖掘函数运动的全过程，做到数形（分类图形、行程示意图、函数图像）结合，细化每个特殊点，建立适当的数学模型，从而顺利地解决函数问题。

关键词：函数；动点；转化；数形结合

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）05-033-2

函数在初中数学中是一个全新的概念，其定义比较抽象但实际应用十分广泛。而一次函数是在进行了正比例函数、反比例函数等基础知识的教学之后的一种更深层次函数知识的学习。学生会认为一次函数的学习会相对简单，但在实际应用中却常常会产生一些误区，导致函数学习出现这样或那样一些问题。为了正确解决函数应用問题，教师应该在教学中充分挖掘函数运动的全过程，做到数形（分类图形、行程示意图、函数图像）结合，细化每个特殊点，建立适当的数学模型，从而顺利地解决函数问题。现以《一次函数》的教学为例，谈谈在教学中挖掘函数运动全过程、走出函数应用常误区的方法。

一、应用常见误区

1.看到求函数关系式就设一次函数y=kx+b（k≠0）

例1 如图，长方形OABC，A（6，0），B（6，4），D是BC的中点，动点P从O点出发，以1个单位/秒的速度沿OAABBD运动，设P运动的时间为t（0

错解：P在三种位置均设s=kt+b（k≠0），再将两点坐标代入求函数关系式。

2.看到相遇点就认为是两函数的交点

例2 有A、B、C三家工厂依次坐落在一条笔直的公路边，甲、乙两辆运货卡车分别从A、B工厂同时出发，沿公路匀速驶向C工厂，最终到达C工厂。设甲、乙两辆卡车行驶x（h）后，与B工厂的距离分别为y1、y2（km），y1、y2与x的函数关系如图所示，根据图像求甲、乙两车之间的距离不超过10km时x的取值范围.

错解：∵E、P是两函数的交点，∴E、P处两车相交，

∵甲、乙两车之间的距离不超过10km，

∴一种情况在E点两侧，另一种情况在P点两侧，|y1-y2|≤10。

3.不能正确找出特殊点表示的实际意义

例3 甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息。已知甲先出发2秒。在跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，求a、b、c。

错解：学生不清楚a、b、c表示的实际意义，无从下手。

二、走出误区之策

函数反映的是因变量随着自变量的变化而变化的过程，它是从常量到变量的质的飞跃，从数量的角度反映了变量之间的对应关系和运动过程，能使我们更好地认识事物的变化规律，预测事物的发展趋势。因此，要想让学生走出一次函数应用的误区，养成正确地解题策略，教师必须透过表象挖掘出事物运动的全过程。

1.抓住动点的不同位置，概括运动全过程

部分学生学习了一次函数后往往有一种固定的思维模式：要求函数关系式就一定是一次函数关系。当然这与学生认知区域的局限性有关，但这种思维方式严重妨碍了学生采用新的方法解决问题。因此，教师要引导学生学会研究问题的科学方法，引导学生从已知的理论出发，进行有关问题的分析、推理、论证，得出正确的解题思路。

如例1求函数关系式中，教师要重点引导学生观察动点P运动的全过程，然后抓住动点P三种不同位置寻找两个变量之间的关系，利用图形面积公式进行求解，当然求法随图形变化而有所不同。

在判断动点的不同运动位置时，能准确地画出分类图形，做到不重复不遗漏，这是解题的关键。教师要培养学生通过演绎探究运动的全过程，进行分类、画图、归纳、求解，使学生的自主性和能动性真正得到充分的发挥和展示，将所学的思想方法应用到实际问题中。要想让学生真正理解和掌握函数就必须让学生进行探究，让学生在探究中获得感性认识，学生也才会真正掌握数学思维和形成数学能力。

2.画出示意图，体会运动全过程

（1）细化已知信息，找出运动突破点

一般在函数的实际应用中，已知信息有“文字信息”+“图像信息”。文字信息告诉我们问题发生的实际情境。如例3中的文字信息告诉我们甲、乙两人的运动情况：同起点、同终点、同方向，总路程都是500米。关键信息有：甲先出发2秒、y表示甲、乙两人之间的距离，t表示乙出发的时间。教师要引导学生将关键信息加下划线，其中“甲先出发2秒”是整个运动过程的突破口，y和t表示的意义是理解图像信息的纽带。图像信息表示的是两个变量之间的运动变化过程。我们要找到图像中的所有“特殊点”：（0，8）、（a，0）、（100，b）、（c，0），这些点是在整个运动过程中具有特殊意义的，教师引导学生进行如图标注，便于理解。

在这里的教学处理中，细化已知信息就是对目标进行分解和落实，是将函数关系转化成运动示意图的前提，有利于学生找准解题突破口，领悟事物在运动过程中的变化规律。教师要让学生捕捉问题中有价值的信息，让学生自己尝试着去探索和研究信息，用敏锐的眼光从众多文字中发现、判断、整合有效信息，激发学生思维的不断碰撞，促进对问题的认知趋向深入，达到全面、深刻的理解，从而不断提升自己的思维能力。

（2）画出运动示意图，实现由静制动

图像信息转化到示意图信息，将函数问题转化为方程模式，从而获得相应的数学知识、方法与技能，这是学生进一步理解函数应用的有效途径。

如例3，问题的表象是用静止状态呈现的，但实际是个运动过程。只有学生细致地画出示意图才能真正掌握其运动过程。根据图像中的四个特殊点，可以将运动过程分解成如下四部分：

（1）甲2秒先走了8米

（2）乙走a秒追上甲

（3）乙走100秒到达终点

（4）甲走（c+2）秒到达终点

通过画示意图，清晰地演绎出甲、乙运动的全过程和两者之间的数量关系，可以让学生引发解题思路，找出解题方法。尤其是在画示意图前后让学生进行比较，充分感觉到画示意图的优势——可以使信息条理化，生动化。教师要引导学生学会从实际问题中提炼事物的运动过程，并进行组合和分解，逐步学会画分解示意图方法和技巧，这是解决问题保障。

问题解决是一项基本技能，它不是单一的拼合，而是若干技巧综合而成的一个整体。我们在用函数解决问题时，要学会将已知信息、运动示意图、已学知识和方法进行有机整合，让学生的思维伴随着整合一步步走向深入，逐渐认识事物现象背后的本质，促使学生思维的深刻性，滋养对客观事物的敏锐性，培养学生综合运用所学的数学知识进行探索运动过程的能力。在一次函数的应用中，我们需要按“图”索骥，从“图”中挖掘运动、多方面、多角度认识问题，探究解决问题的方法，更有利于提高学生的核心素养。

[参考文献]

[1]张毅.作为一种学习态度的研究性学习.北京教研，2003（01）.

[2]张思明.努力发挥数学应用和数学建模活动的教育作用.数学教学，1998.