高考中的递推数列

☉江苏省张家港市乐余高级中学 张森焱

高考中的递推数列

☉江苏省张家港市乐余高级中学 张森焱

数列是高中数学的一项重点内容，递推数列是其中的一个难点，它类型多，解法灵活，技巧性强，是考查学生逻辑推理、转化与化归能力的良好载体，也是近年来高考常考的内容.下面介绍对递推数列的几种考查方式，以期抛砖引玉.

一、递推数列通项公式的求解

递推关系是给出一个数列的重要形式，求数列的通项公式，是得出一个数列的基本途径，也是转化与化归数学思想的应用——化抽象为具体.

方法1.累加法

在数列｛an｝中，已知首项a1，且满足an+1=an+f（n），数列｛f（n）｝是可以求和的.

以上n个等式相加得，

这里的第n个等式（最后一个）是an-an-1=…，而不是an+1-an=….

方法2.累乘法

（2）f（n）=kan（ak≠0，a≠1），即数列｛f（n）｝为等比数列，其中a为公比，首项为ka.

方法3.构造等差数列法

将所求的数列关系式变形，构造等差数列.

常见构造的等差数列的形式有三种：

方法4.构造等比数列法

例4在数列｛an｝中，已知a1=1，有an+1=3an+2n+1，求数列｛an｝的通项公式.

形如an+1=qan+d（d（q-1）≠0）的递推关系，都可运用构造等比数列的方法来求其通项公式.具体做法是：设an+1+x=q（an+x），由an+1=qan+d解得，所以数列｝是公比为q的等比数列，从而可求其通项公式.

方法5.先猜后证

这种数列的通项公式问题，需要先求出这个数列的前若干项，寻找其规律，猜想其结果，然后用数学归纳法证明其正确性.

猜想an=n（2n-1）=2n2-n，下面应用数学归纳法证明其正确性.

①当n=1，2，3，4时，结论当然成立.

②假设当n=k时，结论成立，即ak=2k2-k，

所以，当n=k+1时，结论也成立.

综合①与②知，对任何正整数n，an=2n2-n恒成立.

递推数列的类型多种多样，求解递推数列通项公式的方法也有很多.万变不离其宗，很明显它们的实质是通过合理、适当的转化与化归，转化为求解等差数列或等比数列的有关问题而已.只要我们辨清它是哪种类型，用对应方法解决它即可.

二、对于不等递推关系的考查

不等递推关系型时常出现在一般的竞赛或模考中，此类问题呈现简洁，看似平淡无奇，却极富韵味.

例6已知f（x）是定义在R上的函数，对任意实数x，都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2，f（1）=1.

（1）求f（2005）的值；

（2）求f（2007）的值.

解：（1）联想等差数列的通项公式的推导，试用叠加法.

由f（x+3）≤f（x）+3这个“不等递推关系式”，得f（2005）≤f（2002）+3，f（2002）≤f（1999）+3，f（1999）≤f（1996）+ 3，…，f（4）≤f（1）+3，将这668个不等式两边相加得f（2005）≤f（1）+3×668=2005.

由f（x+2）≥f（x）+2这个“不等递推关系式”，得f（2005）≥f（2003）+2，f（2003）≥f（2001）+2，f（2001）≥f（1999）+ 2，…，f（3）≥f（1）+2，将这1002个不等式两边相加，得f（2005）≥f（1）+2×1002=2005.

据“两边夹法则”，得f（2005）=2005.

（2）方法1：仿（1）直接叠加不便求解，可尝试将已知递推式变形后再使用叠加法.

由f（x+2）≥f（x）+2，得f（x+1）+2≤f（x+3），又f（x+3）≤f（x）+3，所以f（x+1）+2≤f（x）+3，即f（x+1）≤f（x）+1.

由f（x+1）≤f（x）+1，得f（2007）≤f（2006）+1，f（2006）≤f（2005）+1，f（2005）≤f（2004）+1，…，f（2）≤f（1）+1，将这2006个不等式两边相加，得f（2007）≤f（1）+2006= 2007.

由f（x+2）≥f（x）+2，得f（2007）≥f（2005）+2，f（2005）≥f（2003）+2，f（2003）≥f（2001）+2，…，f（3）≥f（1）+2，将这1003个不等式两边相加，得f（2007）≥f（1）+2×1003= 2007.据“两边夹法则”，得f（2007）=2007.

方法2：方法1操作起来比较麻烦，若能把“不等递推关系式”转化为“相等递推关系式”，则问题就变得熟悉了.

同方法1中步骤，得f（x+1）≤f（x）+1，①；

由f（x+2）≥f（x）+2，得f（x+1）≥f（x-1）+2.又由f（x+3）≤f（x）+3，得f（x-1）≥f（x+2）-3.所以f（x+1）≥f（x-1）+2≥f（x+2）-3+2=f（x+2）-1≥f（x）+2-1=f（x）+1，即f（x+1）≥f（x）+1，②.综合①②，知f（x+1）=f（x）+1.所以通项为f（n）（n∈N*）的数列是等差数列，其首项f（1）=1，公差d=1，所以f（2007）=1+（2007-1）×1=2007.

方法3：方法2应用“两边夹法则”，变“不等递推关系式”为“相等递推关系式”，然后用等差数列的知识使问题的求解得到简化.若对解法的探究就此止步，是否意犹未尽？联想数列求某一项的值常用周期数列法，故一鼓作气作如下探索. g（x+1）=g（x）⇒通项为g（n）（n∈N*）的数列是周期数列，且周期T=1⇒g（2007）=g（1）=0⇒f（2007）=g（2007）+ 2007=2007.

三、对递推数列值域的考查

对于数列｛a｝n，若设集合M=｛an|n∈N*｝，则M是数列｛an｝的值域.数列的值域有可能成为高考的新亮点.

例7已知无穷数列｛an｝满足an+1=a2n-2a（nn∈N）*，若集合M=｛an|n∈N*｝中只有两个元素，求数列｛a｝n首项a1的值.

解：显然a1≠a（2若a1=a2，则a3=f（a2）=f（a1）=a1，其中（fx）=x2-2x，依次类推数列｛an｝为常数列，与已知矛盾），从而a3=a2与a3=a1中有且只有一个成立.

（1）当a3=a2时，a22-2a2=a2，则a2=0，或a2=3.

若a2=0，则a1=0（舍去，此时an=0），或a1=2；

若a2=3，则a1=3（舍去，此时an=3），或a1=-1.

（2）当a=a时，（a2-2a）2-2（a2-2a）=a，即a（a-3）（a2-

事实上，本例的本质只不过是函数的不动点与二阶周期点在数列值域问题中的一个应用.先熟悉两个概念.