函数中无处不在的最值问题

☉江苏省扬中高级中学 范 丽

函数中无处不在的最值问题

☉江苏省扬中高级中学 范 丽

函数的最值问题一直是高考考查的重点.最值问题可以衍生出许多其他问题，其中的题型千变万化，而这也给函数最值问题的学习增加了很大难度.即便如此，只要学生平时做好积累、勤加练习、及时总结和归纳，函数的最值问题便不会成为学习上的拦路虎.

一、三角函数的最值问题

三角函数的最值问题也是高考中的重要考点，这种问题一般都需要对三角函数式进行恒等变形，将原三角函数转化成可以直接求最值的函数，下面的例子就是通过对原三角函数进行恒等变形求最值的典型例题.

例1求函数y=5sinx+cos2x的最值.

所以当sinx=-1时，ymin=-6；当sinx=1时，ymax=4.

所以函数y=5sinx+cos2x的最大值为4，最小值为-6.

点拨：本题如果用常规的求导法求解，求解过程会非常烦琐，此时明智的做法是通过恒等变形，将原三角函数式进行转化，通过熟悉的函数来求最值，从而使解题过程大大简化，达到事半功倍的效果.

二、二次函数的最值问题

高考对二次函数的考查屡见不鲜，求二次函数的最值问题更是常见.但是此类问题不是单纯考查二次函数的最值，而是要确定在某区间内的最值，有时候区间还含有未知数，这就给解题带来了很大难度.这种问题一般通过分类讨论的方法来解决，通过下面的例子可以来了解这类问题.

例2（2016年扬州高考二模第23题）已知函数f（x）=x2-7x+15，求f（x）在x∈［t，t+1］上的最大值.

解析：本题若没有x∈［t，t+1］这一限制条件，而是一个确定的范围，则问题非常简单，只要根据函数的单调性，就可以求出函数的最值.但是有了这个限制条件之后，问题就变得比较复杂，需要进行分类讨论.

综上所述，当t＞3时，f（x）的最大值为f（t+1）=t2-5t+9；当t≤3时，f（x）的最大值为f（t）=t2-7t+15.

点拨：本题是通过导数法求二次函数最值的典型例题，但是由于所求最值的区间含有未知数，给解题平添许多难度，解决此题需要对含有未知数的区间进行分类讨论.但是只要根据函数的对称轴，按部就班地对未知数的取值进行讨论即可，尽管过程比较复杂，但是也可以得到想要的结果.

三、对数型函数的最值问题

初等函数与对数函数复合构成对数型函数，由于对数函数的单调性，使得这类问题千变万化.对数型函数的最值问题也很常见，一般是通过函数的单调性来考查最值，通过下面的例子可以深入了解此类对数型函数求最值的问题.

例3求函数f（x）=log2（-x2-4x+12）的最大值.

解析：本题首先应该通过换元将二次函数转化为一次函数，然后再利用对数函数的单调性进行求解.可令μ=-x2-4x+12=-（x+2）2+16，易得0＜μ≤16.因为y=log2μ在（0，+∞）上为增函数，所以log2μ≤log216=4.所以f（x）的最大值为4.

点拨：本例通过换元法将对数式中的二次函数进行转化，使得函数变成一般的对数函数，通过对数函数的单调性，只要求出换元之后函数μ的最值，那么f（x）的最值问题也就迎刃而解了.

四、不规则函数的最值问题

对于一些不规则函数的最值问题，最基本的方法就是导数法，通过求导数判断函数的单调性.有时不规则函数中含有参数，这类问题就需要分类讨论，根据对参数的分类讨论，从而得出函数的最值.下面的例子就是关于此类问题的一道综合题，比较具有代表性.

（1）若f（x）在（0，1］上是增函数，求实数a的取值范围；

（2）求f（x）在区间（0，1］上的最大值.

解析：本题是一般函数单调性问题，可以通过导数法进行求解，但是在解题过程中有一些细节需要引起学生的注意.

点拨：本例的解题过程比较复杂，但是只要抓住参数的取值这条主线，按部就班他进行分类讨论，相对复杂的问题也是可以得到解决的.需要注意的一点是，对于比较难的综合题，第（1）问一般是第（2）问的铺垫，通过仔细研究第（1）问，会对比较有难度的第（2）问的解决产生较大帮助.

综上所述，高中数学中对于函数最值问题的考查非常频繁，这也是高考中的重点内容，这类问题一般综合性比较强，解决此类问题需要扎实的基础知识，这需要学生在平时的学习中多加联系，认真总结和归纳，而老师也应该做好必要的引导工作.

1.陈春明.善用最值另辟蹊径——例谈函数最值的运用［J］.中学数学（上），2016（11）.

2.陈亚琴.三角函数的求解方法概览［J］.中学数学（上），2014（10）.

3.刘馨忆.导数视角下函数最值问题的转化求解［J］.中学数学（上），2016（6）.