高中数学恒成立问题的解题策略探微

☉江苏省宜兴中学 王 震

高中数学恒成立问题的解题策略探微

☉江苏省宜兴中学 王 震

在高中数学的学习过程中，我们应当通过对数学知识的不断探究，寻找各个知识点之间的联系.其中关于恒成立问题的解题策略是作为高中生应当熟练掌握的一项重要知识技能，我们在学习过程中应当注重对自身抽象概括能力和推理证明能力的培养，结合计算联系，提升自身的综合数学水平.我们要对各种数学思想进行深入的学习和研究，尤其是在证明恒成立问题的时候，常常用到的函数与方程、数形结合和整体等众多数学思想，需要我们通过大量的练习进行牢固的掌握.下面我们就针对恒成立问题的解题策略进行简单的讨论.

一、恒成立问题的函数法解题策略

在恒成立问题的解答过程中往往需要我们掌握大量的基础知识作为铺垫，同时能够对这些知识进行熟练的运用.对每一部分知识的运用，我们都要对它们的基本性质和定理、推论和特点等进行熟练的掌握，结合题目要求通过恰当的手段进行解答.其中，我们运用函数的性质去解决一些恒成立的问题，就是我们常说的函数法.在高中阶段我们所接触的函数以一次函数和二次函数居多，因此这里我们重难点对这两种函数的性质应用进行讨论，下面我们通过例题来进行讨论.

1.一次函数在恒成立问题中的应用

例1现在给出一个一次函数f（x）=（m-6）x+2m-4，定义域为x∈［-1，1］，而且函数f（x）＞0恒成立，求实数m的取值范围.

例2对任取x∈［-3，1］，如果不等式（2a+1）x+a+2＞0恒成立，试求a的取值范围.

由此看来，虽然一次函数在恒成立问题中的形式可能不尽相同，但是只要我们抓住主要条件，对条件进行转化，就可以顺利地得出答案.

2.二次函数在恒成立问题中的应用

关于二次函数，又分为一元二次函数和二元二次函数，但是在高中数学练习题中对恒成立问题的考查更多的是与一元二次函数的结合，因此这里我们重点介绍一下一元二次函数在恒成立问题中的应用.一元二次方程与一元二次不等式和二次函数三者之间的联系密不可分，在解题过程中我们可以通过相互转化进行应用，同时借助二次函数的图像或者是一元二次方程的根的判别式进行解题.

例3已知存在x∈R，使得不等式mx2+2x+3＞0恒成立，请计算m的取值范围.

分析：此题是关于不等式的恒成立问题，而且题目中包含了二次函数，因此，我们可以引入一个二次函数f（x）=mx2+2x+3，我们再进行进一步的分析，当m=0时，显然不等式成立；当m＞0时，我们知道这个二次函数的对称轴的正负及图像开口向上，因此应当选取图像在x轴上方的部分.当m＜0时，同理，应当选取图像在x轴上方的部分.通过对这三种情况进行综合考虑，我们在对其分别进行完整的计算，就可以得出m的取值范围为（0，3）.

通过这道题我们可以发现，对于含有参数的不等式恒成立问题，我们需要对参数进行分类讨论，然后再结合二次函数的性质进行求解.

二、恒成立问题的参量法解题策略

高中数学中恒成立问题的求解，我们可以通过自身数学知识的积累，在解题过程中通过灵活的应用完成对问题的解答和求证.经过长期的发展，我们对解决恒成立问题形成了许许多多的方法，每一种方法都是针对不同类型的问题的，因此，我们应当能够通过对不同方法的学习，提高我们的解题能力.其中参量法在恒成立问题中的应用，帮助我们对相关类型的问题获得了更加高效的解答，同时也能加深我们对相关数学知识和数学思想的认识.

1.换元在恒成立问题中的应用

恒成立问题经常会伴随着不等式的证明出现，而其中又经常会涉及参量.对于参量的处理就是我们解决问题的关键，这里我们通过对参量的换元进行应用，能够有效解决一部分关于恒成立的问题，提高解题效率，在解题过程中带给我们更多的收获.下面我们通过例题进行详细的说明.

例4对于任意的a∈［-1，1］，如果能够使得函数f（x）=ax2+（2a-4）x+3-a＞0恒成立，请确定x的取值范围.

分析：一般我们在看到关于恒成立问题的时候，首先想到的解题思路是根据题目给出的直接条件进行求解，并不知道在解题过程中会遇到什么样的困难，这样的解答方法是不是最有效的.因此，在练习过程中我们应当首先对题目进行深入的分析，经过长期的分析，我们形成习惯并且积累了经验，在以后考试的过程中就可以帮我们提高审题的速度，从而帮我们节约时间.这里，我们发现如果对二次函数f（x）中二次项的系数a进行分类讨论，一般要分成三部分，然后对a等于0、a大于0及a小于0每一种情况下函数的范围，以及相应的x的取值范围进行确定，最后也可以求出答案.但是我们发现，这个过程有一点复杂.因此，我们可以通过换元法进行求解，主要思想就是把参量a看作变量，将原函数中的变量x看成参量，这样原来的二次方程问题就转化成了一次方程的问题，然后根据题目的要求进行求解，我们就能够比较轻松地得出答案.如果我们对这样做的结果不放心，在练习的过程中我们可以通过多种解法进行验证，一方面，提升自己的解题能力，另一方面，培养我们对恒成立问题的快速解答效率.

2.分离在恒成立问题中的应用

对于包含参量的恒成立问题的解答，除了可以应用换元法，我们在实际解题过程中还发现可以通过分离参量，也可以实现快速的解答.分离参量实际上就是在数学学习的过程中对那些包含了参量的不等式，将其中的参量提取出来，需要对不等式进行相应的变形，将原来比较复杂的恒成立问题转化为形式比较简单的只关于一端含有参量的形式的问题进行解决.

例5当存在x∈R满足不等式4a+sinx+a2≥0并且使其恒成立时，请确定a的取值范围.

分析：首先我们发现题目中包含了两个变量，一个是x，一个是a，而且a含有二次项，因此我们对不等式进行变形使得不等号一边只含有关于a的方程，另一边只要有x.此时得到关于a的代数式a2-4a，然后我们可以把不等号的另一端看成一个函数，可以求解这个函数的最值.回过头来我们再考虑a2-4a，最后得出关于a的不等式a2-4a＞5，求解这个不等式所得出来的a的取值范围就是最后的答案.

通过这样的方式对恒成立的问题进行求解，需要我们能够在练习的过程中积累大量的经验，同时在解题过程中要保持头脑思路的开阔，这样才可以更有效地解决问题.

三、恒成立问题的构造法解题策略

在解决恒成立问题的时候，我们经常会发现题目中给出的条件无法直接被我们用来解题，需要我们进行深入提取有效的条件.这个时候如果我们能够根据题目条件进行构造函数或者其他数学形式，在应用在解题过程中就会比较顺利地找到答案，下面我们对几种常用的构造法进行简单的讨论.

1.复数构造法在恒成立问题中的应用

作为高中生我们对复数都有一定的了解并且能够在问题中进行应用，复数有两部分组成：实部和虚部，因此我们可以将实数中的一些性质推广到复数中，而复数的一些性质在实数中也有所体现.在恒成立问题中有些需要借助复数的构造才可以更加快速准确的解答，下面我们来看例题.

分析：首先我们要仔细的观察题目中的不等式，分析一些不等式的特点.我们发现可以设z1=x+yi，z2=（x-3）+（y+4）i.然后利用绝对值不等式的性质对z1和z2进行计算，在代入到待证不等式中就可以完成证明.

那么通过这个例题我们有什么发现呢？首先，我们知道了在证明不等式恒成立的时候，可以通过构造函数来进行证明.其次，我们所构造的函数或者其他的数学形式应该是一种条件构造，也就是要构造出外延和扩大的表达形式，利用其对缩小形式进行证明，但是这个过程不可颠倒，否则会导致错误的结论.最后，对复数的构造，需要我们熟练掌握复数的性质，要通过大量的练习，不断的积累经验.

2.几何构造法在恒成立问题中的应用

在恒成立问题的不等式证明过程中，我们运用构造法进行解题还会经常用到构造几何图形或者几何函数的方法进行计算求解.例如，我们可以将几何中的求最大值或者最小值问题，与不等式问题中的边界条件进行结合，从而实现对问题的证明或者解答.

分析：这个题需要一定的数学基础知识积累才可以进行深入的分析和解答，题目中的等式|z-i|+|z+i|=4实际上是对椭圆方程的复数形式的反映，当我们知道了这一点，就可以对题目进行转化，使之成为证明椭圆方程上的点到一个定点的最大距离，这个距离是.我们可以设存在点P2sinθ）为椭圆上的任意一点，然后计算A点和P点的距离，最后会发现只有cosθ是未知条件，但是我们又知道cosθ是绝对值不大于1的，因此进行代入就可以完成证明.

在数学恒成立问题中通过构造法进行求解，需要我们能够透过题目给出的条件发现其中的特点，对这些特点的表面形式进行验证.要对相关知识之间的联系从本质上进行利用，经过这样的坚持训练，作为高中生，我们就可以逐渐积累丰富的关于恒成立问题的解题经验，同时能够不断促进我们的发散思维和创新思维的发展，最终促进我们自身数学综合能力的提升.

综上所述，作为高中生要想更好地提升自己的数学成绩，首先，要端正自己的学习态度.其次，要激发自己对数学的学习兴趣.在针对数学中的恒成立问题进行学习的时候，应当开阔自己的解题思路，综合运用所掌握的各种数学知识.要想能够快速选择最合理的方法解答问题，需要我们在日常学习和练习过程中付出巨大的努力.我们还要善于总结，每遇到一个新问题，就要进行深入的分析，尽可能掌握更多的题目类型，使我们的数学基础更加扎实.但是由于高中数学知识具有一定的难度，因此我们在学习过程中一定要能够灵活应变，遇到困难要坚持，只有解决了这些困难，才会使我们的数学能力获得进一步的提升.