别错失培养创新意识的机遇*——以等差数列前n项和公式教学为例

●洪昌强(台州市第一中学 浙江台州 318000)

别错失培养创新意识的机遇*
——以等差数列前n项和公式教学为例

●洪昌强
(台州市第一中学 浙江台州 318000)

一个具有创新型的人，一定具有较强的创新意识.在平时教学中，由于缺乏相关经验，导致创新意识的培养机遇错失现象十分普遍，学生的创新意识沉沦不起，创新思维能力得不到发展.文章通过案例指出创新意识的培养机遇不可错失.

创新意识;高斯算法;等差数列求和

1 问题提出

钱学森之问“为什么我们的学校总是培养不出杰出人才？”虽然这是一个既庞大又复杂的教育工程，但“教师能做什么，数学课堂又能做什么”，这是值得每位教师思考的问题，也是教育工作者的职责.笔者以“等差数列前n项和公式”教学为例，谈谈个人的一些教学实践和感悟.

2 过去教学

按教科书编排顺序，先介绍高斯的算法，再由此启发学生如何求一般的等差数列前n项和，然后讲解求和公式的应用.课堂中教师的教学比较顺畅，学生的课本作业也能完成.课后反思：为什么要先介绍高斯的算法？怎么不问学生是怎么想？学生有什么获得感？这样的教学能培养出高斯这样大师级的人才吗？

3 教学改进

机遇1 体会简捷算法——好奇

数列求和是一种加减运算，过程是一个化简过程，也是合并过程，但不同的算法所带来的效果不一样.

问题1 如何计算以下数列的各项和？

1) 13，13，13，13，13，13，13；

2) 11，-7，2，-1，5，-4，8.

图1

问题2 如何计算图1中的钢管数？对问题1中的2个问题你有何感想?

设计意图 使用学生熟悉的学习内容来提供支持，即使是学习有困难不情愿学习的学生，也可以让他们发现自己可以利用过去的知识来参与学习活动，激发学生的原有经验，并在学习讨论中感到惬意.若按教材直接抛出求“1+2+3+…+100”，学生对此相当熟悉，甚至能背出结果5 050.这样会导致学生对本节课的学习缺少新鲜度.

问题1、问题2以“如何计算”和“有何感想”提出问题，具有问题性、思考性、启发性，问题1第1)小题之所以求和方便是因为“式子美”，每项相同,也是等差数列求和的归宿.问题1第2)小题中的式子结构没有第1)小题这样良好，不爱思考的学生按习惯思维处理，一个劲地按原式排列顺序然后逐项相加，因此感到繁锁.而爱思考的学生会问：有无简捷的算法？虽然和式中各数排序有点“乱”，但又觉得不乱.通过调整各项次序，让式子变“美”，结果发现“好”的计算方法，体会加减运算也有巧妙方法.问题2以贴近学生日常生活，但又不俗落套，通过情境启发，发现每堆钢管数虽不同，但经过补形可成为一个平行四边形.简单的问题也有值得思考的地方，激起学生学习的好奇心，最大限度地调动学习主动性和自觉性.同时，溯源高斯的算法，为下面探索等差数列求和公式提供支持.

机遇2 亲身经历发现规律——自信

若按教材先介绍高斯的算法，学生听后只是佩服高斯小时候聪明，情感上对高斯进行赞叹,但没有发现自己的能力,没有给自己增加学习自信.其实束缚了学生的思维，把学生的思维捆死在一条路上，严重阻碍了学生的思维发展,创新能力被扼杀.

问题3 如何求1+2+3+…+n?

问题3中虽然各项的数是自然数，比较简洁，但项数处于动态中，其和随n的变化而变化,变化规律怎样？学生通过探究得到以下几种处理方法:

接着，教师介绍高斯算法及他的数学研究成就.

设计意图 高斯算法通过加法运算结合律与交换律，对各项重新组合化为统一.学会使用一种方法并不是学习的目的，学习应该超越掌握这个方法的本身东西——具有发现创建这些方法的本领.问题3虽然还是求和，但其和随项数变化而变化，起到了从常量到变量的过渡，自然渗透了函数思想,并让学生亲身发现数列的和与n的变化关系规律及二次函数有紧密联系.通过开放式教学，让学生发表不同的想法，对于学生个人来说，各种方法都有一定的思维价值.学生完成了与高斯一样的创造活动，感觉自己像科学家一样，伟人能行我也行，增强自我胜任感，鼓足了探索和解决新问题的勇气，把教师的知识和责任内化为自己学习的动力.问题3还为等差数列求和公式的推导起到拉动思维引擎的作用.

机遇3 大胆探索新的方法——好胜

学习等差数列求和公式,仅仅是为了得到公式的结果吗?教育是让人去思考、学知识，又让思维技能得到发展.因此,等差数列求和公式教学不能匆促结束,教师要帮助学生对知识重建“再创造”的情境,让学生亲自去经历、探索问题解决的方法.

问题4 你能求等差数列{an}前n项的和Sn吗？希望大家有新的方法发现.对各种推导方法你有什么想法？

在问题3的启发下，得到以下思路：

思路1 根据等差数列通项公式，将问题4化归为问题3进行处理：

Sn=a1+a2+…+an=

na1+(1+2+3+…+n-1)d=

思路2 根据等差数列{an}的性质，可得

ak+an-k+1=a1+an(其中k∈N且1≤k≤n),

从而

2Sn=n(a1+an).

以上2种方法多数学生都能独立完成.

图2 图3

思路3 受问题2的启发，借助图形处理,如图2，将梯形补成矩形,得

2(a1+a2+…+an)=n(a1+an).

思路4 如图3，在直角坐标系中，通过线段平移及迭加的方法，直接找点Pn(n,Sn)的位置，当公差d均为正数时，随n不断增大点Pn不断升高,但上升速度并不是均速直线上升，而是越来越陡峭，貌似二次函数图像的特征.又因为S1=a1,所以猜想Sn=(n-1)(An+B)+a1.

图4

思路5 如图4，从面积入手，将大梯形分割成n-1个小梯形,由于每个小梯形的高均为1，因此

从而

思路6 类似思路5，也可将大梯形分割成n-1个小矩形和n-1个全等小三角形进行处理.

以上6种方法均体现了数与形相互协调对称之美.

设计意图 问题4中求Sn涉及到n个不同的字母，需要学生寻找这些字母之间的联系以及它们的变化规律.有了问题3的探究经历,绝大多数学生会利用高斯算法或化归为问题3进行处理.问题4中“希望大家有新的方法发现”,对一些会思考的学生,在追求创新目标驱动下，投入到新方法探索中.思路3和思路4通过函数思想和数形结合方法进行处理.思路5和思路6从面积角度着手，对数列各项的“和”理解为区间[1,n]函数值之和，其函数值的和与各“小块”的面积之和密切相关(积分就是一种无限分割求和的极限计算).思路3～6角度独特、新颖，跨越经验型思维定势，超越权威.这些方法来自学生经过自己的艰难探索而获得，更坚信我能行.孤立方法形成不了能力，注重学科知识间的融合，加强各种方法的联系，让各种各样的联系滋生出不可思议的美妙问题，有利于提高学生的综合应用能力.因此,在探索各种方法之后,接着让学生总结各方法之间的内在联系,随着学生的深入探究，公式更加鲜活，课堂更富有生命.

机遇4 敢于提出新的问题——创新

教科书上安排的5个例题所涉及的内容都是特殊的等差数列，问题也比较简单，直接应用公式就可解决，其意图是巩固公式，这仅是强调双基的落实.若就此收官,思考力的培养将失去一次肥沃土壤.优质的教学能极大地促进学生持续发展，高成就的学生往往在接受具有挑战的学习任务方能得到发展.

问题5 结合教科书中的4个例题，请你对{an}和{Sn}这2个数列谈谈哪些问题值得你关注?你发现了哪些结论？你解决了哪些问题？

1)由例1和例2可知确定等差数列只需要2个独立条件.

2)由例3知{an}的通项an可以由Sn确定,并且它们的关系为an=Sn-Sn-1(其中n≥2).

3)等差数列前n项和的形式一定是Sn=pn2+qn.反过来,Sn=pn2+qn+r并不是等差数列的前n项求和的结果，除非r=0.

5)在例2的条件下，求S30特别方便，因为S10,S20-S10,S30-S20成等差数列.不仅如此，有更一般的结论：Sn，S2n-Sn,S3n-S2n和Sm,S2m+t-Sm+t,S3m+t-S2m+t仍然成等差数列.

6)若{an}的公差为正数,则{Sn}一定是递增数列吗?反之,若{Sn}是递增数列,则{an}的公差一定为正吗?

7)等差数列前n项和的最大(小)值是在|an|最小处或附近达到.

设计意图 学生在自主学习教科书中的4个例题后，教师设计具有挑战性的任务，给充足的思考时间，鼔励学生拓展思路，自由畅想，激发创新热情，对各个问题大胆假设，求索未知，认真求证，创造新事物,让创新成为习惯.

4 感悟

创新意识的培养机遇不是靠等待的，机遇掌握在每位教师心中，需要教师去挖掘、去捕捉、去把握、去落实.因此，教师应长期致力于创造一个有激发力的课堂.

4.1 创新意识人人常有

弗兰登塔尔先生曾说：“即使是儿童，也已经具有某种‘潜在的发现能力’，他们的思维和行为方式已经具备了某些教师甚至研究人员的特征.”主动学习是创新教育的核心,因此，教师首先要走进学生，懂得学生，理解学生，唤醒学生，激活生命内力的教育才算成功教育开始.其次,教师要尊重学生,由于各个学生生活经验背景不同，对问题的理解和想法也存在一定差异，教师设置问题的起点要低,贴近学生实际,激发创新活力，把每位学生的创造力激发出来.第三,课堂上开放学生的思维，给学生留足思考的时空,鼔励求异求活,让各个学生有机会交流对问题的质疑、思维过程及探索过程的各种困难、感受，共同分享.

4.2 创新意识处处常在

教材在很大程度上决定着学生的学和教师的教，而每个概念、定理、公式、例题，每种解法都蕴涵着深厚的意义，有其发生、形成的过程.《课标》指出：“使学生的学习过程成为在教师引导下的‘再创造’过程”“让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识.”因此，教师首先要读懂教材，理解教材，挖掘教材，用好教材.教学时通过创设反映数学事实的恰当情境，引导和组织学生经历和体验知识再创造的过程.其次,开启数学思想方法的导航灯,数学思想方法是数学的灵魂，也是培养创新意识的基础和源泉，数学创新思维是以数学思想为支撑点.本节课的教学展现了数列求和公式的认识过程：算式→变化→对应，在公式探索过程中，运用化归、函数、数形结合等重要数学思想方法发现问题、提出问题、解决问题，展示数学思维的美妙，体验数学力量感，满足了学生求新求异的欲望，孕育了不断创新的意识.

4.3 创新意识时时常问

维系创新意识运行的生命是问题，问题是思维的起点.刘绍学先生语：“问题使我们的学习更主动、更生动、更富探索性.要善于提问，学会提问，‘凡事问个为什么’，用自己的问题和别人的问题带动自己的学习.”让问题始终伴随着创新思维的发展,如何让学生学会问？提出“好”的问题？学起源思，思起源疑.首先,要鼓励学生敢于质疑.在想每一件事时要有疑：疑大与小，疑新与老，疑异与同，疑优与劣，疑静与动，疑有与无.其次,要引导学生善于发问.在做每一件事时要会问：是什么？做什么？会什么？为什么？怎么做？还有什么?经常这样疑和问，不仅把当前的问题弄明白了，而且把相关的问题加深了理解.长期下去，不仅可以提高思维能力，还可以提升思维品质,养成科学的思维态度，最后不知不觉发现自己聪明起来了，为继续学习打下扎实的基础，创新热情也愈来愈高.

数学概念是数学基础知识的核心,是学好数学知识和提高数学能力的关键.“数学是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也”“概念是数学的细胞”，数学的建构完全依赖于一个一个明确的概念，没有数学概念就没有系统的数学思维,因此对数学概念的充分理解往往能从本质上抓住解决数学问题的关键所在.因此在概念教学时，教师要不惜时、不惜力，充分考虑学生的学习心理和认知规律,做到自然平和,并且能深刻揭示概念的本质,挖掘概念的内涵和外延，让学生对数学教材能看懂、吃透，让学生真正理解教材、掌握教材.

(2015年浙江省数学高考文科试题第15题)

进一步挖掘椭圆概念的内涵与外延，发现还有一种方法可以获得椭圆概念：平面内与2个定点连线的斜率乘积为一个负常数的点的轨迹为椭圆.将图形上升为一种理念，充分挖掘图形的性质，建立图形化思想，从本质入手，对问题的研究引向更高的层次.

图1

分析 有的学生直接将斜率“翻译”成

因此

这样的转化得益于对椭圆概念的深刻理解.章建跃博士曾经说过：“要让学生养成‘回到概念去’思考和解决问题的习惯.”概念理解越深刻，解题越简洁越流畅，抓住了概念也就抓住了解决问题的关键.

教师把握教材编写意图，整体把握教材，对教材按照教师教和学生学的视角进行重构，将教材适度拓展和改造，帮助学生把蕴藏在教材中那些隐含的知识点挖掘出来，深刻理解概念,就能使学生真正看懂、吃透数学教材，让学生真正理解教材、掌握教材.只有从概念出发解决问题,回本溯源,培养学生“回到概念去”的思维习惯,才能真正理解数学本质.

1.2 善于数形互助，让思维回归“自然”

世界数学大师波利亚强调：“我们必须不断变换你的问题，重新叙述它，变换它，直到最后成功找到某些有用的东西为止.”[1]在求解运动型问题时，要努力抓住一些运动过程中保持不变的量或变量之间的相互依赖与联系，去发现量和量之间的关系，探求规律，使问题向有利于解决的方向转化.

例3 已知平面向量a,b,c,满足|a|=|b|=2,|c|=1,(a-c)·(b-c)=0,求|a-b|的取值范围.

图2

|r-1|≤|OM|≤r+1.

解得

故

本题得益于彻底理解概念、曲线的几何意义和曲线的代数特征.点C虽在动，但解题过程抓住不变性，对题目的条件和所求既分析其代数意义，又分析其几何意义，挖掘图形的几何性质，把数量关系的问题转化为图形的性质问题去研究，找准突破点，可以少做很多无用功.

(2016年浙江省数学高考理科试题第15题)

图3

分析 问题表征是解决问题的前提，本题若能抓住问题的图形性质,运用数形结合思想进行分析，理清问题的数形关系，关注图形背后隐含的性质或结论，则可触及问题的本质.本题实际上是考查向量投影的问题(如图3),解法如下：

而向量|a·e|=|OA1|,|b·e|=|A1B1|分别表示向量a,b在e上的投影，从而

即

a2+b2+2a·b=5+2a·b≤6,

故

对某一问题迅速、灵活、正确、完整地处理并加以创造性地运用，不仅能提升学生分析问题的能力，也能真正内化成为自己的思想智慧，从而提升学生的“自我生长”能力.

2 合理建立模型,让思维回归“自然”

数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段.教师要促使学生能合理建模，在抓住问题本质的同时，真正领悟对数学形式化的要求和应用，提升学生的数学思维能力，提高问题解决能力.

教师根据题设条件和结论所具有的一些特点和性质，引导学生展开联想，跳出常规思路，创造性地建构恰当的“载体”，进一步构造出符合条件和结论的数学形式，化归为原有的数学模型，从而使问题向有利于解决的方向转化.

例5 设正实数a,b,c满足

求a,b,c的值.

(2014浙江省高中数学竞赛试题第22题)

分析 该题是一个解方程组的问题，直接消元无从下手.该题貌似与解三角形毫无关系，但只要回顾比较余弦定理的形式特点就能将问题转化为容易解决或者更能反映问题本质特征的另一种形式，使比较隐蔽的问题直观化.将方程组化为

构造如图4所示的图形，其中OA=a，OB=b，OC=c，∠AOB=90°,∠AOC=120°,∠COB=150°,则

图4

著名数学教育家波利亚说过，问题表征是问题解决的前提[1].学生以何种形式在头脑中呈现问题具有决定性的作用，甚至可以说如果一个问题被正确表征，问题解决就成功了一半.数学模型的构建是建立在深刻理解所学知识的基础上的，解题过程闪烁着思维的火花和创造的灵感.

例6 已知实数a,b,c，满足a+b+c=0和abc=2，求证：a,b,c中至少有1个不小于2.

即

a≥2.

例7 已知a,b是实数，且eba.

章建跃博士曾指出：“数学育人要用数学的方式，为发展学生的核心素养而教，而数学建模是数学核心素养的重要要素，是用数学知识解决数学内外的问题.”[3]在教学中，教师要及时归纳比较，帮助学生积累一些解题中常见的数学模型，引导学生从不用的角度进行分析，理清解题思路并按照题型的问题条件与所积累的模型建立联系，从而实现构造，提高学生的思维能力和创造力.

3 善于联系迁移，让思维回归“自然”

布鲁纳曾说过：“学生获得的知识如果没有完整的结构把它联系起来，那是一种多半会遗忘的知识.”章建跃博士在数学核心素养阐述时指出:“‘性质—结构’主要是指数学推理，是建立相关知识之间的联系而形成结构功能良好、迁移能力强大的数学认知结构的过程.”[3]在解题教学中，教师要引导学生不能总是简单地重复，应该加入自己的思考和主动探究，不能只停留在“听懂”“看懂”，数学学习不能只停留在表面，要从实质上进一步深入研究，加强探寻数学知识和方法之间的联系和规律，形成知识网络，在反思中总结与联想，逐步实现“一题多解，多解归一，多题归一”，即站在系统的高度解题分析和整体把握，达到解题方法的迁移、解题能力的提升.

例8 1)若f(x)=(x+a)(|x-a|+|x-4|)的图像是中心对称图形，则a=______.

(2013年上海市春季数学高考试题第31题改编)

分析 函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美.这是一个关于函数中心对称问题的题组，解决此类问题要联想奇函数图像的性质，所有的中心对称本质上都是奇函数图像的平移.回归清楚的思路和自然的联系,将3个问题回归转化成奇函数问题.

1)化简得

f(x-a)=x(|x-2a|+|x-a-4|).

要使f(x)为中心对称图形，而g(x)=x是奇函数，因此只要h(x)=|x-2a|+|x-a-4|为偶函数，即

2a+a+4=0，

从而

2)联想到函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是

f(x)+f(2a-x)=2b，

即“函数y=f(x+a)-b是奇函数”与“y=f(x)的对称中心为(a,b)”等价的本质，得出a=2,b=1.

例9 设a为实数，函数f(x)=|x2-ax|在区间[0,1]上的最大值记为g(a)，当a=______时，g(a)的值最小.

(2015年湖北省数学高考文科试题第17题)

这样的例子在高中数学中还有很多，通过探究反思，揭示联系，进而形成迁移，不仅能使学生形成良好的认知结构，还能使学生建立知识网络，掌握数学知识的内在联系与规律，更能使学生真正抓住数学思维的内在本质，从而提升对数学思想方法的理解，并引领学生走出题海.教师应从数学学科的特点出发，在知识上指导学生注意追根究底，寻找知识之间的联系和规律，在比较中学习新知识，站在哲理的高度思考问题，注重联想.教师在平时的教学中应引导学生善于联系，善于追根究底，明白命题者的思路，探寻知识与方法之间的联系和规律，寻找条件和结论之间的差异和本质联系，达到解题方法的迁移、解题能力的提升，提升对问题的本质认识，让学生在不断地联系和整合中，丰富认知结构中的内容，站在系统的高度理解数学，构建更广更有效的解题经验.

4 反思与总结

把数学教好是落实核心素养的前提，关键是要“示以学生思维之道”，强调数学的理解和本质的揭示[4].让学生经历完整的“获得对象—研究性质—应用拓展”过程,并在运用数学知识解决问题的过程中培养创新精神和实践能力，使学生能深刻、理性并灵活地思考问题，能用数学的方式认识问题和解决问题.

培养学生的理性思维是数学课程的核心任务，这就是教学的“宗”.在实施解题教学中，要尽可能地引导学生展示数学解题的思维过程，在“清楚”如何做的基础上，更要理解“为何这样做”，让学生感悟解题的思维过程，避免机械地、盲目地生搬硬套[3].一个优秀的思维水平较高的学生能运用所学知识清晰地分析问题，能直接道出问题的本质和解决问题所用的思想方法，建立知识之间的联系、对比、分析，并能合理迁移.

解题教学不是教师自己解题,更不是仅仅帮助学生解出一道题的结果,也不是方法的堆积.它是以典型的案例为载体,通过具体问题的解决,引导学生学会运用知识,同时领悟解题策略和方法,提升学生的解题能力和数学核心素养,促进学生“自我生长”能力的提高.

[1] 波利亚.怎样解题[M].阎育苏，译.北京：科学出版社，1982.

[2] 江志杰.“圆”来如此精彩[J].高中数学教与学，2016(4):12-14.

[3] 章建跃.树立课程意识,落实核心素养[J].数学通报,2016(5):1-4.

[4] 曹凤山.讲好数字背后的故事[J].中学教研(数学)，2016(6):1-4.

2017-01-09；

2017-02-20

洪昌强(1963-)，男，浙江台州人，中学高级教师.研究方向：数学教育.

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A

1003-6407(2017)05-01-04