寻找结构差异 深究解题策略*——一道高考三角题的解法探究与思考

●宫前长(天水市第一中学 甘肃天水 741000)

寻找结构差异 深究解题策略*
——一道高考三角题的解法探究与思考

●宫前长
(天水市第一中学 甘肃天水 741000)

数学的学习离不开解题.研究高考试题，不仅要学会审题、解题，而且要弄清题目条件与结论之间各种思维通道的差异，并且通过结构差异，深究解题策略的优化方案，能够从中提炼出数学思想方法，提升学生数学的思维能力.

思维认知；试题探究；结构;思维价值

1 试题呈现

例1 在锐角△ABC中，若sinA=2sinB·sinC,则tanA·tanB·tanC的最小值是______.

(2016年江苏省数学高考试题第14题)

2 查清结构

从题目来看，以解三角形为背景命制试题，主要考查分析、解决三角形问题的能力，以及两角和与差的三角函数公式、正弦定理和余弦定理等知识点的综合运用能力.同时，强化对转化与化归、函数与方程、消元与不等式求最值等数学思想方法的考查.命题人从知识的整体高度与数学思维的价值取向上命题，试题结构简单,形式简洁、明了，但其内涵丰富，是一道值得多视角探究和深思的好题.

2.1 审清条件

试题限于锐角三角形，强调了3个内角的范围，以及深挖隐藏的条件“3个内角的和：A+B+C=π”，结合题设给出的条件“sinA=2sinB·sinC”，其结构表征要求必须借助两角和与差的三角函数公式、正弦定理和余弦定理等知识点来探究解题思路、方法.

由于条件sinA=2sinB·sinC中有3个角，就会自然想到消元，联想到在三角形中，常用三角等式sin(B+C)=sinA,cos(B+C)=-cosA来减少变量.

根据两角和的三角函数诱导公式展开，其具体变形为

sinA=sin(B+C)=sinB·cosC+cosB·sinC,

再结合条件sinA=2sinB·sinC可得

sinB·cosC+cosB·sinC=2sinB·sinC.

此时，按照变形所得的三角等式结构sinB·cosC+cosB·sinC=2sinB·sinC，突发奇想，将形成好多解题的思路与方法.

2.2 审查结论

审题是解题中最重要的一个环节，审题的视角、方法直接关系到解题的成功与否.数学问题中的结论，往往会给审题提供一些重要的信息.如“tanA·tanB·tanC的最小值”明确指出了代数式tanA·tanB·tanC的化简(求解)方向：多变量的最小值问题.但从代数式的结构tanA·tanB·tanC上看是三角形的3个内角的正切值的积，依照平时做题习惯，会采用“切化弦”技术减少变量的个数，将问题转化为含有2个变量或1个变量的问题，通过求最值问题，熟悉化简求解的原则和方法.

在锐角三角形中，依两角和的正切公式有

变形可得

tanA·tanB·tanC=tanA+tanB+tanC.

这样处理，使得结构复杂的tanA·tanB·tanC等价转化为tanA+tanB+tanC，与条件关系式相比，结构差异缩小了，不再产生解题心理压力，好的解题思路方法不断涌出.

2.3 审明联系

通过题设条件、结论的剖析，如何更好地架设条件与结论之间的“桥”？让“sinA=2sinB·sinC”到“tanA·tanB·tanC”的“天堑”变“通途”.已知条件等式sinA=2sinB·sinC只含有正弦，而所求问题式中只含有正切tanA·tanB·tanC.因此，审题时很自然地想到一种策略：“弦化切”或“切化弦”.此时，关键等式来源于“sinB·cosC+cosB·sinC=2sinB·sinC”的2边同时除于“cosB·cosC”(在锐角△ABC中，cosB·cosC≠0)得到等式“tanB+tanC=2tanB·tanC”，很好地消除了条件与结论之间的差异.

结合平时的解题经验，想到另一种策略：“等价转化法”，即将三角问题转化为代数问题进行求解.

总之，通过上述的审题，初步形成如下的解题思维链(如图1所示)：

图1

3 解法探究

3.1 弦化切

将条件等式“弦化切”，再与两角和的正弦、正切公式以及锐角三角形的恒等式等知识点结合，然后进行有效化简，“接通”条件与目标，求得tanA·tanB·tanC的最小值.

解法1 (均值不等式法)

sinA= sin(B+C)=sinB·cosC+cosB·sinC=

2sinB·sinC,

因为△ABC为锐角三角形，所以cosB>0,cosC>0,所以

tanB+tanC=2tanB·tanC.

又A=π-(B+C),从而

于是tanA·tanB·tanC=tanA+tanB+tanC=

整理得

tanA·tanB·tanC≥8，

当且仅当tanA=4时等号成立.故tanA·tanB·tanC的最小值是8.

解法2 (基本不等式法)由解法1中tanB+tanC=2tanB·tanC，可知

tanA·tanB·tanC≥8，

当且仅当tanA=tanB+tanC，即tanA=4时等号成立.故tanA·tanB·tanC的最小值是8.

解法3 (基本不等式法)由解法1，知

tanB+tanC=2tanB·tanC，

则

故tanA·tanB·tanC的最小值为8.

解法4 (整体法)由解法1知

又

tanB+tanC=2tanB·tanC，

把tanB·tanC看成一个整体，令tanB·tanC=t(其中t>1),则问题转化为求

的最小值.

当且仅当t=2∈(1,+∞),即tanA=4时，tanA·tanB·tanC的最小值为8.

则

解法5 (判别式法)由解法1知

由三角形恒等式知

联立式(1)和式(2)，解得

tanA+2tanB·tanC=tanA·tanB·tanC，

从而

因为△ABC为锐角三角形，所以

tanA·tanB·tanC>0,

不妨设tanA·tanB·tanC=y(其中y>0),则

变形为关于tanA的一元二次方程

tan2A-ytanA+2y=0.

由判别式Δ=y2-8y≥0，得y≥8.故tanA·tanB·tanC的最小值为8.

解法6 (构造函数法)由解法5知

目标tanA·tanB·tanC的最小值问题转化为关于tanA的函数最小值问题.

当且仅当tanA=4时等号成立.故tanA·tanB·tanC的最小值为8.

解法7 (对偶构造法)已知sinA=2sinB·sinC，得

(3)

由锐角△ABC，得

cosA>0, cosB>0, cosC>0.

设 cosB·cosC=tcosA,

(4)

式(3)÷式(4)，得

式(4)-式(3)，得

化简得

即

tanA=2(1+t)，

当且仅当t=1时，tanA·tanB·tanC的最小值为8.

3.2 切化弦

将结论tanA·tanB·tanC切化弦，再与两角和的正弦、正切公式，锐角三角形的恒等式，以及函数最值等知识点结合，求得tanA·tanB·tanC的最小值.

解法8 (消元法)

因为sinA=2sinB·sinC,由锐角△ABC，得

方法1 (判别式法)令

化简得 sin2A-ysinA·cosA+2ycos2A=0.

由锐角△ABC，得cosA>0,上式2边同除cos2A得

tan2A-y·tanA+2y=0,

此方程可看成是关于tanA的一元二次方程，则由判别式Δ=y2-8y≥0(其中y>0)，得y≥8.故tanA·tanB·tanC的最小值为8.

方法2 (判别式法)令

化简得 sin2A-ysinA·cosA+2ycos2A=0,

将此等式看成是关于sinA的一元二次方程，求得判别式

Δ=y2cos2A-8ycos2A=

(y2-8y)cos2A≥0(其中y>0).

因为△ABC为锐角三角形,所以y>0,cos2A>0,从而y≥8.当y=8时，上式变为

sin2A-8cosA·sinA+16cos2A=0，

即

(sinA-4cosA)2=0，

亦即tanA=4.故tanA·tanB·tanC的最小值是8，当且仅当tanA=4时等号成立.

方法3 (弦化切法)

下同解法5(略).

方法4 (均值不等式放缩法)由

得

故tanA·tanB·tanC的最小值为8.

方法5 (函数最值法)

不妨设sinA=t(其中0

3.3 转化与化归

根据题意，将三角形式的题目等价转化为代数问题，解决起来更方便快捷.由“查清结构”中的解题思路可将问题转化为如下的命题：

例2 已知实数x>0,y>0,z>0，满足y+z=2yz，x+y+z=xyz，则xyz的最小值是多少？

分析 对于多元最值问题，常常采用消元法，利用基本不等式与函数思想进行解题.消元是解决多变量问题的基本大法.消元的方式有2种:直接消元(代入消元和整体消元)和引参消元.该问题可以直接代入消元.由于篇幅原因，以下只列举2种方法，以供参考.

解法1 由条件得

x+2yz=xyz，

从而

于是

采用例1中的解法5或解法6，可求得xyz的最小值是8.

解法2 由条件y+z=2yz,得

由解法1知

从而

故

下同解法1.

4 教学启示

4.1 重视数学思想，积累解题经验

在平时的数学学习中，多提炼例、习题中所蕴藏的数学思想.如本题中，涉及许多审题的视角(不等式、函数、等差中项和对偶构造)、数学思想(换元、化归与转化、数形结合)和数学方法(整体法、换元法、消元法、判别式法)等重要内容，内化为自己知识体系中的解题经验和微型模型，能够更好地提升思维水平和开发数学潜能.

4.2 关注“三审”过程，通达数学自觉

因此，解题时要多关注三审(审条件、审结论和审联系)环节，这样就能融会贯通数学的各个知识点，形成知识的系统化，解题时左右逢源、游刃有余.

1 裂项法求和问题的生成方法

第1步：选择函数f(x);第2步：构造数列{an}的通项an=k[f(n)-f(n-1)]，并将an化简(不能化简的没有研究的必要)；第3步：选定一个k值，生成裂项法求和问题.

说明：k取不同的值，可生成不同的求和问题.

通过1)的示范讲解，学生基本把握了裂项法求和问题的生成方法及裂项技巧.紧接着给学生10分钟自编自练，再给学生15分钟在小组内交换练习,教师巡视指导,最后剩下的时间以小组为单位通过投影仪展示各组的编题成果.现将各组展示的问题整理如下(限于篇幅，部分解答省略):

取k=1得到：

an=f[f(n)-f(n+1)]=

取k=-1得到：

6)选择函数f(x)=x(x+1)，计算

an=k[f(n)-f(n+1)]=

k[n(n+1)-(n+1)(n+2)]=

-2k(n+1)．

问题6 已知数列{an}的通项an=n+1，求数列{an}的前n项和Sn．

7)选择函数f(x)=x(x+1)(x+2)，计算

an=k[f(n)-f(n+1)]=

k[n(n+1)(n+2)-(n+1)(n+2)(n+3)]= -3k(n+1)(n+2)．

问题7 已知数列{an}的通项an=(n+1)(n+2)，求数列{an}的前n项和Sn．

9)选择函数f(x)=qx-1(其中q≠0且q≠1)，计算

an=k[f(n)-f(n+1)]=k(qn-1-qn)=

k(1-q)qn-1．

问题9 已知数列{an}的通项an=a1qn-1，求数列{an}的前n项和Sn．

10)选择函数f(x)=tanx,计算

an=k[f(n)-f(n+1)]=k[tann-tan(n+1)]=

取k=-1得到：

11)选择函数f(x)=tan(2xα)，计算

an=k[f(n)-f(n+1)]=

k[tan(2nα)-tan(2n+1α)]=

取k=-1得到：

12)选择函数f(x)=cot(2xα)，计算

an=k[f(n)-f(n+1)]=

k[cot(2nα)-cot(2n+1α)]=

取k=-1得到：

2 生成方法在教学中的作用

1)苏霍姆林斯基说过：“在人的灵魂深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者.”[1]过去学生被动做题，缺乏学习的主动性，甚至会感到枯燥乏味.现在教会了学生用生成方法自编自练，交换练习，教师把学习的主动权还给了学生,让他们自己去发现问题、研究问题,极大地激发了学生的学习热情和学习兴趣，学生乐此不疲，就像玩游戏一样不断写出新的函数，不断生成新的求和问题.一系列新颖别致的求和问题给学生带来了快乐，带来了成功的感受和体验.

2)学生在编题过程中，使自己的思维品质得到了优化和提升，尤其是逆向思维能力得到了很好的锻炼；使他们看到了题目生成背后的故事，有利于抓住问题的本质特征，破译解题玄机，把握裂项法的规律和技巧，提升自己的解题能力.

3)学生通过编题，拓展了自己的思维空间.选择不同的函数编题，使所学的知识得到了联系和发展,使学生更能适应在知识的交汇点设置问题的考试要求.同时对数列中的函数思想也有了更为深刻的认识.

5)美国缅因州的国家训练实验室研究成果表明:课堂中，学生单纯的“听讲”，2周后所学知识的保持率仅为5%；通过“看”教师的示范演示，2周后也只能保持30%；而通过“小组讨论”获得的知识，2周后的保持率可达到50%；如果能在“做中学或实际演练”获得知识，2周后的保持率可达到70%；如果能够自己获得并“教别人”，保持率可达到90%[2].由此可见，合理放手，适度让位,教给学生裂项法求和问题的生成方法，让学生自编自练，互编互练，给学生自主探究、展示交流的空间,可大大提高所学知识的保持率，使课堂变得更加高效.

[1] 张艳.一道例题体验三种角色[J].数学通报，2016(11):51-53.

[2] 缪林.平面与平面垂直的判定教学片段及教学反思[J].数学通报，2012(7):22-24.

2016-11-24；

2016-12-30

宫前长(1964-)，男，甘肃礼县人，中学高级教师.研究方向：数学教育.

O122

A

1003-6407(2017)05-12-05