从一次课堂例题讲解中的意外生成谈起*

●于 彬 高振卿(东营市胜利第六中学 山东东营 257000)

从一次课堂例题讲解中的意外生成谈起*

●于 彬 高振卿
(东营市胜利第六中学 山东东营 257000)

数学是一步一步向上走的.文章通过一次课堂例题讲解中的意外生成加深教师和学生对这句话的认识，同时对课堂教学的预设与生成以及解题教学的追求提出几点思考.

课堂例题;教学预设;意外生成;解题教学

数学是一步一步向上走的.这句话出自日本教育家、数学家米山国藏的名著《数学的思想、精神及方法》，对于一线教师来说理解起来尚有一定的难度，更不用说学生了.

但是，笔者在近期的课堂教学实践中，借助一次课堂例题讲解中的意外生成，结合自己对这句话的理解，加深学生对这句话的印象.以下进行简单介绍，不当之处，敬请指正.

1 例题及说明

图1

该题是以巩固锐角三角函数定义为主的习题课中的例3，其中例1是在直角三角形中求已知角的锐角三角函数值，例2是已知三角形中2个特殊内角的三角函数值，求第3个角的度数，具有一定的综合性，对初学者来说有一定的难度.

2 意外生成及说明

在课堂教学中，例1、例2顺利完成，接下来进入例3的讲解，笔者首先给学生留了10分钟的独立思考时间，接着让学生说一下自己的解题思路.

生1：还没有思路……

生2：设DE=x，CE=y，在Rt△CED和Rt△CEB中2次应用勾股定理即可.

这完全超出了笔者的预设，这是一种非常好的方法.看似是得到了一个二元二次方程组(解法1)，但将x2+y2作为一个整体带入后便可顺利求解.在肯定了该生解法的基础上，笔者进行了提示，引导学生去发现图中的一对相似三角形，又给学生留了几分钟的时间后，再让学生回答解题思路.

生3一开始的回答是按照笔者的预设进行的，但是讲到后面又回到了勾股定理，这让笔者再次感到意外.笔者肯定了生3的解题思路(解法2)后，接着引导学生思考能否通过相似直接求得DE.此时生4抢答了……

生4的解题思路(解法3)和笔者最初的预设是完全一致的，在课堂教学中却是“千呼万唤始出来”，特别是在最后生4还说出了这种解法的优点，这让笔者感到很高兴.当笔者准备讲例4时，生5举手了……

生5：老师,您在上节课中讲过“在直角三角形中相似和锐角三角函数是从不同的角度看问题”，那么这个题目完全可以避开相似，直接利用∠ACB和∠CBE的角度相等，进而余弦值相等，这样就可以求得BE，接下来就和解法3一样了(解法4).

此时班里响起了掌声，笔者也为生5的解法感到意外和高兴.这时，笔者发现距离下课时间还有3分钟，讲解例4是不可能了，这时“数学是一步一步向上走的”这句话却浮现在了脑海里，于是在剩余的3分钟里笔者首先用程序图(如图2所示)总结了例3的解题思路,并说道：“通过例3的4种解法，同学们可以感觉到数学知识内部是相通的，用不同的知识可以解决同一个问题，但是我们要体会不同方法的难易程度，比如思路是否容易想到、计算是否简单等等.同时,同学们通过这个题目可以体会直角三角形中勾股定理、相似、锐角三角函数在解决同一个问题时所带来的不同‘感觉’，体会数学知识是螺旋上升的，是一步一步向上走的.”

图2

3 解法展示

解法1 利用勾股定理.设DE=x，CE=y，在Rt△CED和Rt△CEB中应用勾股定理可得

解得

故

解法2 利用勾股定理和直角三角形的相似.由BD=CD，知

∠ACB=∠CBE，

又∠ABC=∠CEB=90°，从而

△ACB∽△CBE，

于是

即

解得

CE=12.

在Rt△CED中,应用勾股定理得

故

解法3 利用直角三角形相似.由BD=CD，知

∠ACB=∠CBE.

又∠ABC=∠CEB=90°，从而

△ACB∽△CBE，

于是

即

解得

BE=16，

进而

故

解法4 利用锐角三角函数.由BD=CD，知

∠ACB=∠CBE，

从而

cos∠ACB=cos∠CBE，

于是

即

解得

BE=16，

进而

故

4 几点思考

4.1 课堂教学是动态生成的

在本节课的课堂教学中，笔者虽然没有完成例题4的教学，但是抓住了课堂教学中的意外生成，加深了学生对所学知识的理解，收到了意想不到的教学效果.课堂教学是动态生成的，随时都有可能出现教师在备课中没有预设到的事情，此时是将学生拉回还是让学生说下去，显然笔者最后选择了后者.接着生5又给出了新解法，这应该算是这节课意外之中的意外了.

4.2 解题教学应该追求什么

解题教学应该追求什么？文献[1]指出解题教学应该追求解题成果的深化与扩大，本课例中的意外生成及意外中的意外不正是成果深化和扩大的一种体现吗？文献[2]指出解题教学应该追求多思少算.解法1～4从勾股定理到直角三角形的相似到锐角三角函数正是思维层次加深、计算量减少的过程.此外，课堂小结中的一段话更是将学生的思考引入“深处”，从而实现解题教学成果的最大化.

4.3 数学是一步一步向上走的

数学是一步一步向上走的.在课堂教学中，教师应该抓住任何时机让学生体会这句话的意义，从而加深学生对所学知识的理解，打通知识之间的联系.正如本课例中出现的例题明明可以利用直角三角形相似或锐角三角函数来解决，学生却仍然用勾股定理的相关知识解决，出现这种现象的主要原因是：教师在课堂教学中没有适时引导和渗透，从而学生没有体会到“数学知识的螺旋上升”和“数学知识之间的内部联系”.期待上述课例中的“意外”可以对一线教师的课堂教学带来一些启示.

[1] 朱月祥.追求解题成果的深化与扩大[J].中学数学教学参考，2015(11):19-20.

[2] 徐亮.多思少算：一种值得追求的解题教学策略[J].中学数学，2016(7):84-85.

2016-12-19；

2017-02-10

山东省东营市教育科学“十二五”规划课题(125DYJG195，125DYJG210)

于 彬(1984-)，男，山东泰安人，中学一级教师.研究方向：数学教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)05-19-03