由一道选择压轴题参考答案引起的探究*

王先义 刘成龙

四川省内江师范学院数学与信息科学学院 (641112)

由一道选择压轴题参考答案引起的探究*

王先义 刘成龙

四川省内江师范学院数学与信息科学学院 (641112)

A.[1,e]B.[e-1,1]

C.[1,1+e]D.[e-1,e+1]

上述试题是2013年四川卷理科选择题中的压轴题，现将参考答案摘录如下：

参考答案使用的是排除法，大家不免要问用一般的方法怎么解答该题呢？下文给出试题的一般解法及相关链接.

首先给出两个有用的结论：

结论1 (表达式角度)若f(x)为定义在I上的增函数，则f(f(x))=x⟺f(x)=x.

证明:“⟹”任取x1∈I，不妨设f(x1)>x1，因为f(x)是定义在I上的增函数，所以f(f(x1))>f(x1)>x1，这与f(f(x1))=x1矛盾.故f(x)=x.

“⟸”显然.

结论2 (方程解角度)若y=f(x)是定义在I上的增函数，则方程f(f(x))=x⟺方程f(x)=x⟺方程f-1(x)=x⟺方程f(x)=f-1(x).

证明:因为y=f(x)是为定义在I上的增函数，所以y=f(x)有反函数，记为y=f-1(x)，设反函数与原函数的交点坐标为(x0,y0)，则(y0,x0)也是它们的交点，且f(x0)=y0,f(y0)=x0.不妨设x0

推论1 若y=f(x)为定义在I上的增函数，则方程f(f(…f(x)…))=x⟺方程f(x)=x⟺方程f-1(x)=x⟺方程f(x)=f-1(x).

对结论2运用数学归纳法即可得推论1，证明过程略.

试题解答：

由推论可以对试题进行推广：

相关链接

1.(2012浙江竞赛题)设函数f(x)=x2+bx+c，若方程f(x)=x无实根，则方程f(f(x))=x( ).

A.有四个相异实根B.有两个相异实根

C.有一个实根D.无实根

解:由f(x)=x2+bx+c开口向上，且方程f(x)=x无实根，得∀x∈R，f(x)>x，故f(f(x))>f(x)>x，所以f(f(x))=x无实根.

3.(2013福建三明市质量检测理10)对于函数f(x)，若f(x0)=x0，则称x0为函数f(x)的“不动点”；若f(f(x0))=x0，则称x0为函数的“稳定点”.如果函数f(x)=x2+a(a∈R)的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数a的取值范围是( ).

四川省“西部卓越中学数学教师协同培养计划”项目(ZY16001)资助.王先义，内江师范学院的14级本科生；刘成龙系本文

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