掘金教材内容 拾贝精彩试题——从2016年四川省成都市中考第24题说起

黄祥勇，邱声誉

（四川省成都市教育科学研究院；四川省成都市实验外国语学校）

掘金教材内容 拾贝精彩试题
——从2016年四川省成都市中考第24题说起

黄祥勇，邱声誉

（四川省成都市教育科学研究院；四川省成都市实验外国语学校）

数学教材为“学生的数学学习活动提供了学习主题、基本线索和知识结构”，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源，同时也是中考命题的“聚宝盆”，教师的日常教学行为应立足课程标准，深入挖掘教材；关注过程，注重学生的学习体验．

挖掘教材；关注过程；新定义

教材是中考命题的“聚宝盆”，以教材为蓝本创编中考试题，除了引领师生重视教材外，更重要的是体现了考试评价的公平性.本文以2016年四川省成都市中考第24题为例，探析基于教材创编“新定义”试题的基本思路，以期纠正近年来教学中越演越烈的“题海战术”，使教师和学生回归教材、回归教学常态，切实减轻师生过重的课业负担，让中考正能量的导向作用充分释放.

一、试题解析

题目 （2016年四川·成都卷第24题）实数a，n，m，b满足a＜n＜m＜b，这四个数在数轴上对应的点分别为点A，N，M，B（如图1），若AM2=BM·AB，BN2=AN·AB，则称m为a，b的“大黄金数”，n为a，b的“小黄金数”.当b-a=2时，a，b的大黄金数、小黄金数之差m-n=__________.

图1

解析：此题源于北师大版教材九年级上册第四章第4节第96页“黄金分割”概念，是一道以形助数、以数释形的好题.

此题可以直接由条件从形入手，联想到教材上学过的黄金分割点，再把代数条件“b-a=2”转化为几何条件“AB=2”，把目标问题“求m-n的值”转化为几何问题“求线段MN的长度”.这样，学生在已有的知识水平基础上，可以较快建立数与形、未知与已知之间的联系，使问题得以解决，如方法1.

方法1：因为AM2=BM·AB，BN2=AN·AB，

所以M为线段AB的黄金分割点（靠近点B），N为线段AB的黄金分割点（靠近点A）.

如果由条件从形入手的同时，把点A置于原点，即令a=0，再由条件b-a=2，令b=2.经过这样的特殊化处理，问题的数学本质不变，但更接近教材概念的意义，未知与已知之间的关系更明显，即便不直接使用黄金比，运算量也不大，如方法2.

方法2：令a=0，

因为b-a=2，

此题也可以从代数角度破题，但此法较难.将新定义中的几何条件（线段）转化为代数条件(m-a)2=(b-m)(b-a)，(n-b)2=(n-a)(b-a).这样，此题本质就是解方程组，用代数m，n的式子表示出a，b，再代入消元，求出m-n，如方法3.

当然，也可以从转化后的代数条件中分离出b-a或m-n的整体式子，再寻求计算突破，如方法4.

以上四种方法中，不管何种解法，都蕴含着黄金分割数的实质是一个比值，这也是解决问题的关键.

二、价值分析

“黄金分割”是一条漂亮的连接代数与几何的纽带，数形结合的思想在这里也得到了最完美的凸显，它是数学美的最简约和最完美的体现.开普勒将黄金分割和勾股定理并称为几何中的双宝，“前者好比黄金，后者堪称珠玉”，华罗庚也曾将与其紧密相关的“0.618法（优选法）”在我国大规模推广.

1.从试题考查的角度来看

此题借助几何条件，从代数角度新定义“大黄金数”“小黄金数”，将教材中的“黄金分割点”“黄金比”概念进一步拓展、深化，旨在考查学生对数轴上点与数的对应、线段的比、方程和方程组等知识的理解、掌握程度.问题解决过程中，需要学生综合运用化归、数形结合、方程、整体等数学思想方法，有效实现了对学生数学思维能力的考查，同时也较好地提升了命题层次，反映了《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中所倡导的“数感、符号意识、几何直观、数学运算、逻辑推理、模型思想、应用意识和创新意识”等核心素养.

2.从试题命制的角度来看

作为填空题的倒数第二道压轴题，此题承担着区分中等生和优等生的功能，所以对试题的信度、效度和区分度都提出了较高的要求.试题的背景“黄金分割”概念对于学生来说相当熟悉，从学生最熟悉的教材内容中提出问题，并且用最基本的数学知识和方法解决问题，这应该也是贯彻《标准》的要求，切实减轻学生过重学业负担的表现.同时，“黄金数”取材于教材，目的也在引导教师的教学回归教材，深入挖掘日常教学和生活中的素材，切实提升学生的数学核心素养，这也是今后中小学数学教育的方向.

3.从试题改编的角度来看

此题给出的呈现方式是数形结合，命题者的意图当然是期望学生从形的角度解决，从试题改编的角度也可变形为只有“形”或只有“数”的方式呈现.

形的角度：数轴上从左至右排列的四个点A，N，M，B，若满足AM2=BM·AB，BN2=AN·AB，且线段AB的长度是2，则线段MN的长度为________.

这种直接呈现“黄金分割”定义的方式并未点名“黄金数”，需要学生对“黄金分割”的多种表征方式较为熟悉，在符号语言、图形语言和文字语言之间能较为熟练地进行转换，而且需要一定的几何直观能力.

数的角度：实数a，n，m，b满足a＜n＜m＜b，若(m-a)2=(b-m)(b-a)，(n-b)2=(n-a)(b-a)，则称m为a，b的“大黄金数”，n为a，b的“小黄金数”.当b-a=2时，a，b的大黄金数与小黄金数之差m-n=_______.

这种完全以数来呈现的方式对学生来说，难度较大，学生如果对“黄金分割”不熟悉，不能识别出它的几何模型，则可能会进入繁杂、技巧性的代数运算（如前面提供的方法4），而不能正确求出答案.

4.从考完后的师生反响来看

此题的得分比命题者预计的要低，但试题却得到了绝大多数教师的认可，做不出这样的试题，教师和学生更多的是对自己的教学行为和学习方式进行反思：总觉得初中教材过于简单，一看都懂.很大一部分教师不喜欢用教材，直接用教辅资料和学案作为教学工具，导致学生觉得教材可有可无.还有那种“跑步前进式”的两年讲完新课、学案导学完全取代教材、越演越烈“刷题”的题海战术——这些让教师和学生疲于奔命却毫无效果的做法是该停止了，而这，不也正是中考这个“指挥棒”想要达到的目的吗？

三、教学探析

1.立足《标准》，挖掘教材是教学的根本

数学教材是为了实现《标准》的要求编写的，它为“学生的数学学习活动提供了学习主题、基本线索和知识结构”，是“实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源”.

目前各版本的教材质量均是上乘的，内容清晰、准确，按教学过程呈现，有情境引入，有问题探究，有概念形成，有例题示范，有变式思考，有回馈练习，也有课外思考.

在教学相关概念时，教师应带着学生认真解读教材，一方面，让学生经历概念的生成过程，清楚其由来；另一方面，让学生精读教材中对概念的准确描述，以及前后的引入、解释，以及拓展、应用，在教学中培养学生的数学阅读能力.教材不管是例题、习题还是公式、定理，亦可适度“变脸”或深度“改造”，甚至进行一般化探究，其蕴含内容往往深刻而丰富，特别是教材中的章节引例或情境，更需要我们不断从学生认知角度出发，挖掘出能服务于本课教学目标的素材.在布置学生练习时，教师应多布置教材中的练习或习题，不能完全照抄教辅资料上自认为的“好题”而忽略教材习题.教材习题很好地承接了相关概念和典型例题，难度适宜，目的明确，寓意深刻，这才是践行《标准》的真正意义上的好题.

因此，读懂教材是教学设计的出发点，吃透教材是有效教学的支撑点，深入挖掘教材是教学的根本.日常教学中不能舍本逐末，应该要充分领会教材，深度研究教材，创造性地使用教材.

2.关注过程，注重体验是学习的核心

数学课程不仅包括数学的结果，也包括结果的形成与应用的过程和蕴涵的数学思想方法.这意味着“过程”是数学课程内容的有机组成部分.

以应对短期考试为目的的学习是不可取的.教师总是报怨讲了无数次，原来能做，现在又不会做了.其实学生会的只是皮毛而已，短时间内还能模仿一些题型，解决一些近似度很高的问题，长时间后忘得干干净净，什么都不会留下，这就是“会了又不会”的根源.

教师不应以短期考试为目的去要求学生，分数或许可以在短期内满足师生的心理需要，但未必能带给学生真正意义上的进步.日常教学中应少点机械重复的练习，能力仅靠重复训练是达不成的，多些思维的深度体验，智慧在思维的火花中方可绽放.一些教师往往用功于课堂，课内紧张严肃，师生互动积极，充实而愉悦，课外作业很少.学生发展全面，大量的时间用于做一些智慧性的探究和思考性、研究性的学习，成绩却很好.

同时，在初中阶段的数学教学活动中，合情推理的是一个非常重要的方面，我们必须把握好培养学生推理能力的阶段性要求，注重学生数感、符号意识，数学语言及书写习惯的培养，有意识地培养学生有条理地思考、表达和交流，引导学生自觉地进行数学思考，表达自己的数学方法和数学思想，进一步体验数学的推理过程，鼓励学生从事抽象与概括活动，为发展空间观念和演绎推理能力搭建平台.

关注“过程”的数学课程，有利于树立学生学习数学的信心.如何让学生喜爱数学并树立学习数学的信心是每一位教师十分关注和迫切希望解决的问题.数学作为人类智慧的“精致花朵”，多年来被理解为高度抽象的一门学科，抽象、晦涩、枯燥几乎成了数学的代名词.如果只关注“结果”，那数学概念就是“空降”的，数学方法只能是“记忆”的，数学思维必然是“死寂”的，这样的学习怎么可能提高学生学习数学的兴趣呢？只有关注教学“过程”本身，深入感知数学概念的生成过程，完整经历数学结论、证明思路的发现过程，才能诱发学生火热的思考，才能使学生的数学思维“鲜活”起来；只有在发现的过程中学习数学，才能使学生获得的知识扎根大脑，记忆永久；只有多以问题为引导，层层递进地组织教学，让学生积极参与充满挑战又极具诱惑的问题解决过程，才能使学生在问题解决过程中欣赏数学，进而喜爱数学.

关注“过程”的数学课程，有利于发展学生的思维能力.数学课程和数学教学的核心是培养和发展学生的思维能力，推理能力是思维能力的重要体现.初中阶段的数学学习要注重演绎推理能力的训练，也不能忽视了合情推理的培养.数学教学应积极尝试、探索培养学生合情推理能力的有效途径.例如，教材中有些“读一读”“综合与实践”材料的运用.探究的思路让学生多想、多尝试，探究的过程让学生多体会、多享受，猜想与发现让学生多表述，甚至可以辩论.这样获取的知识对学生而言更加深刻，这样的过程体验更能让学生体会到数学思维的深邃和博大.

正如一位哲人说过，能使学生终生受益的教育才是最好的教育.能使绝大多数学生终生受益的不是数学知识本身，而是思维能力，是学会怎样思考问题.施教之功，贵在引路，妙在开窍.如果能充分利用好教材这个最根本也最有效的教学资源，让学生从题海战术中解脱出来，学得灵活，学得扎实，优化学习过程，提高学习效率，我们的数学教育和教学才能更上一层楼.

［1］邢成云.根植教材创编考题［J］.中学数学杂志，2015（8）：33-37.

［2］吴立宝，曹一鸣，秦华.钻研教材的几个视角［J］.中学数学教学参考（上旬），2013（4）：24-28.

［3］韩新正.中考压轴题的一种价值取向：平实、简约［J］.中学数学（下旬），2015（8）：38-40.

［4］黄祥勇.平实中见清新，细微处蕴思想［J］.中学数学（下旬），2015（9）：43-46.

2017—02—14

黄祥勇（1976—），男，中学高级教师，成都市教育科学研究院数学教研员，主要从事中学数学教学研究．