且行且思 发展“四能”——“平行四边形性质”一课的点评

郑燕红，吴增生

（浙江省仙居县安洲中学；浙江省仙居县教育局教研室）

且行且思 发展“四能”
——“平行四边形性质”一课的点评

郑燕红，吴增生

（浙江省仙居县安洲中学；浙江省仙居县教育局教研室）

平行四边形是初中平面几何研究的重点图形，其研究的思路、研究的内容、研究的方法与三角形的研究一脉相承，具有典型性.在第九届初中青年数学教师优秀课展示与培训活动中，该内容作为指定内容进行教学视频展示说明.浙江省台州市王群老师的教学，通过整合创新，聚焦平行四边形性质的整体研究；借助类比和铺垫引导学生自然合理地发现和提出问题；放手让学生充分探索和思考，发展其分析问题和解决问题的能力；用简单练习巩固知识，让学生体会知识的应用价值.这是一个经典的课例，值得学习、研究和借鉴.

平行四边形性质；课例点评；教学研究

浙江省台州市王群老师执教的“平行四边形性质（1）”，通过整合内容，创新设计，带领学生自然合理地发现和提出问题、分析和解决问题，经历问题解决的全过程，在落实“四基”发展学生的“四能”上进行了积极有益的探索.

一、课例简要回顾

1.类比思考，提出问题

教师首先让学生回顾从三角形到等腰三角形的“特殊—一般”的研究思路，回顾四边形的学习，在类比的基础上结合实际生活中平行四边形的形象提出平行四边形的研究问题及研究思路（如图1）.

图1

2.合作探究，发现边角性质

教师在先让学生回顾小学中平行四边形的定义的基础上，类比三角形的学习，提出性质研究问题.让学生首先明确研究的方向，研究边和角的数量关系.在此基础上，让学生在画出的图形中通过观察、测量，探索和发现尽可能多的平行四边形的边、角的数量关系.学生得到：如图2，AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠D=180°，∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180°等.还有的学生因为画出来的是矩形（特殊的平行四边形），得到四个内角相等.教师引导学生通过讨论得到：要发现图形的性质，需要画出一般图形而不能用特殊图形来观察分析.

图2

3.逻辑推理，证明边角性质

教师引导学生质疑，提出需要证明，引导学生画出图形，写出已知、求证，在此基础上让学生充分思考、独立证明.在独立证明完成后，组织学生交流，在交流中通过追问让学生说出“通过连接对角线证明三角形全等”的思路，教师概括出“把四边形问题转化为全等三角形问题”的转化思想.

4.拓展研究，发现并证明对角线的性质

在学生连接对角线后，引导学生关注对角线，通过观察、测量、发现对角线的性质，并进行证明，再次体会把平行四边形问题转化为全等三角形问题的转化思想.在这个过程中，有的学生还发现了对角线把平行四边形分成的四个三角形面积相等，相对的两个三角形周长相等，等等.

在完成上述研究后，引导学生用自己的语言说出这些性质：平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分，等等.

5.应用新知，巩固练习

（1）如图3，在▱ABCD中，∠A=40°，则∠B=_____，∠C=_______.

图3

图4

（2）如图4，在▱ABCD中，若AB=8，AD=6，则它的周长是_______.

（3）如图5，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线EF分别交边AB，CD于点E，F，试找出图中所有相等的线段并说明理由.

图5

6.课堂小结

教师用下面的问题引导小结，利用框图整理知识，引出平行四边形的判定，特殊的平行四边形的研究问题和研究思路，体会几何图形研究的一般思路.

（1）研究了什么图形，得到了哪些性质？

（2）是怎样得到这些性质的？

（3）接下来研究什么？

作业：独立研究矩形并写出研究报告.

二、课例特点分析

1.整合创新，聚焦平行四边形性质的整体研究

本课的教学，突破了教材安排，整合平行四边形的边角性质和对角线性质，放在同一节课中进行集中研究.让学生先聚焦于核心内容——平行四边形的边、角和对角线的性质的探索与证明，剥离例题教学，削支强干，这样的目标定位是合理的.说它合理，首先符合了几何图形研究的一般规律，人们要研究一类图形，要先明确研究对象，给出定义，画出图形；接着分析其构成要素，研究构成要素与相关要素的大小和位置关系，整体系统地发现和证明，然后才考虑研究结果的应用.其次，这种图形研究的一般规律能够迁移到其他几何图形的研究中，甚至对任何问题的研究都有借鉴作用，具有发展学生数学智慧的价值.第三，这样的目标定位是可以达成的.基于图形结构的性质的系统研究，便于学生在探究活动中聚焦目标和图形，突出重点，进行高效率的性质探究活动.

2.借助类比和铺垫，引导学生自然、合理地发现和提出问题

本课采用类比等腰三角形的学习经验，提出研究平行四边形的问题.教师先让学生回顾了等腰三角形的研究思路后，问学生：在研究了三角形后，想到要进一步研究什么图形？当学生提出要研究四边形后，教师引导学生回顾四边形的相关知识：内角和为360°，外角和为360°，四边形具有不稳定性.进一步，教师提出问题：在研究了一般四边形后，还要进一步研究什么？学生想到了研究特殊的四边形，结合现实生活中的平行四边形的形象，让学生体会研究平行四边形的必要性.更进一步，先让学生回顾小学中学习过的平行四边形的定义，画出平行四边形，给出平行四边形的符号表示，以及平行四边形的边、角、对边、对角等基本要素后，让学生类比等腰三角形的研究思路，提出研究平行四边形的边和角的数量关系的问题.在学生完成了平行四边形的边、角性质研究后，教师顺势给出对角线的概念，并进一步提出研究对角线的问题.

3.放手让学生充分探索和思考，发展分析问题和解决问题的能力

教师通过适当的问题设计，引导学生借助几何直观和符号语言直观简约地表示问题，明确问题的条件和结论，分析证明性质的思路.例如，在给出平行四边形的定义后，让学生尝试根据定义画出平行四边形，让学生先结合图形进行观察和测量以发现性质；然后通过质疑提出证明的必要性；再分析证明思路、书写证明过程.在完成性质中线段和角关系的证明后，引导学生用自然语言概括得到的三条性质.然而要把借助几何直观得到的线段和角的相等关系转换为“性质定理”，特别是概括命题“平行四边形的对角线互相平分”，需要一番思考，不断完善，最终达到精确、简约的命题表述.这一过程，实际上为我们对学生进行逻辑推理的严谨性教育提供了一个良好的契机.本课教学中，教师先让学生借助几何直观进行观察、发现和证明，再进行一般化的命题表述，且教师引导学生仔细解读“互相平分的含义”，这是合理的，符合数学抽象必须依赖于数学直观的基本规律.

重视学生的自主探究和合作交流.前面研究四边形、研究平行四边形等宏观目标的生成，是在教师引导下由学生提出的，而平行四边形性质的发现和证明，则重视了学生的自主探究和合作交流.在明确研究平行四边形的性质的任务后，教师问学生：研究什么？怎么研究？让学生说出：研究平行四边形的边和角.接着，教师引导学生通过辨别平行四边形的定义，从中发现平行四边形的定义中已经有“两组对边分别平行”的特征，因此把研究的重点放在研究边角的数量关系上.而发现数量关系的活动，是学生自己独立进行并经过小组合作讨论得到的，不但得到了“对边相等”“对角相等”的教材中的性质，还发现了邻角互补的性质；同时，有些学生还得到了一些错误的结论.例如，画出的图形是矩形，得到四个内角相等；还有的学生画出正方形，得到四条边都相等，四个内角都相等等不具有一般性的结论，于是教师借此讨论问题所在，指出画出图形要有一般性、不用特殊图形代替一般图形.通过观察和测量得到性质的猜想后，教师引导学生质疑猜想的逻辑确定性，让学生体会到需要证明，并回顾证明步骤：画出图形、写出已知、求证，明确已知和要证明的结论，写出证明过程.证明过程则是放手让学生独立进行的，教师娴熟地使用信息技术，把学生的证明过程投射到屏幕上，组织学生评价.可惜，教师只展示了成功学生的作品，而没有展示证明过程有瑕疵的学生的作品，丧失了通过评价提高学生逻辑推理严谨性的教育机会.

在学生完成平行四边形的边角性质研究后，教师引导学生回顾和总结证明的基本思路是连接对角线，把四边形问题转化为三角形问题，并顺势提出研究对角线的问题.同样，对角线性质的发现过程也是让学生独立发现，适度开放，独立证明.学生除了发现对角线互相平分以外，还得到了对角线划分平行四边形得到的四个三角形面积相等，相对的三角形周长相等，对角线交点到一组对边的距离相等，等等.

4.用简单练习巩固知识，引导学生体会平行四边形性质的应用价值

因为本课采用性质探究的整合教学，采用简单的两个练习让学生初步巩固性质的应用，体会平行四边形的性质是说明线段和角的相等的新工具，而不是采用教材中边角性质及对角线性质分课教学.本课这两个练习看似简单，但它们覆盖了所有新知识，而且进一步应用新知解决问题活动可以在习题课中进行.实际上本课新知的探索过程中的观察猜想、推理证明的训练已经很到位，已经达成了发展推理能力的教学要求.教材中数学内容探究过程中的观察、发现、归纳、猜想、证明等数学认知活动具有典型性，其思维训练的价值远高于做几道具体题目中的价值.

总之，本课教学过程中，教师通过创设类比情境、适当提问，引领学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，教师给出研究思路，学生沿着教师预设的研究思路进行研究，且行且思，润物细无声，让学生在不知不觉中经历问题的发现、提出、分析和解决的全过程，对问题解决活动经验的积累，几何图形性质研究经验的积累，发展“四能”，具有比较积极的意义.本课无疑是一堂成功的课.

三、课例反思提升

1.值得商榷的问题

数学教育的理想是用数学的内在力量发展学生的智慧，实现数学育人，数学智慧集中表现在数学核心素养上.这就给数学教育提出了更高的要求：怎样通过科学合理的教学设计，在发展学生的数学核心素养上取得良好的效果？数学核心素养包括数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析.在本课教学中，通过设计可以得到发展的数学素养是数学抽象、演绎推理（包括合情推理和演绎推理）、直观想象（几何直观）.数学抽象包括具体概念的抽象，法则、命题、模型的抽象，数学思想和方法的抽象，形成数学内容体系的系统结构抽象.从这样的角度思考本课例，就会发现，具体概念的抽象、命题的抽象、化四边形问题为三角形问题的转化方法的抽象活动做得都比较到位，而从总体上规划平行四边形的研究方案的系统结构抽象活动则略显不足.本课中，教师在开头让学生回顾了等腰三角形的研究思路“定义—性质—判定—应用”，这一回顾无法支撑学生提出研究“四边形”问题，也无法支撑让学生提出需要研究平行四边形.教师在展示现实生活中的平行四边形形象后，直接让学生回顾小学中的平行四边形的定义，再介绍符号表示、边角等概念，而不是类比等腰三角形的研究经验，让学生先给出平行四边形的研究思路：定义—性质—判定，然后再按这个思路让学生回顾定义、符号表示、探究性质.也就是说，本课教学中，类比等腰三角形的研究思路只是作为教师引导学生思考的参考路标，而不是学生自己脑子中生成的平行四边形性质研究的行动方案.学生无法从有效积累研究内容、研究思路、研究方法等角度规划几何图形研究方案，根据方案对几何图形进行系统化的研究，构建知识体系的系统结构抽象活动经验.

作业是课堂学习的补充和延续，教师布置研究矩形性质作为作业并不十分妥当.首先，矩形的研究既需要研究性质，又需要研究判定，如果作为作业安排的话，最好是在平行四边形判定学习后，不能肢解矩形研究的整体性；其次，矩形、菱形及正方形内容的教学最好作为平行四边形特例研究的完整任务让学生独立进行.因为，如果学生真正学会了几何图形研究的基本套路，经过平行四边形的性质和判定的研究活动的教学，在矩形、菱形和正方形学习中是不需要教师系统讲解的，只需要对有困难的学生进行个别指导即可.

2.改进建议——让学生更系统地规划研究方案

其实，仔细类比三角形与四边形，就可以得到比较完整的平行四边形研究方案（如图6）.

图6

为了快捷地进行这种思路的逐步规划，可以设计以下教学活动.

问题1：前面，我们系统地研究了三角形，对于一般的三角形，我们研究了什么？

师生活动：教师引导学生总结：研究了边的大小关系和位置关系（角的大小），研究了基本要素边和角的大小关系，研究了相关要素——三线及其位置关系.

追问：在研究了一般三角形后，我们还研究了特殊三角形——等腰三角形和直角三角形，这两种特殊的三角形是怎样由一般三角形得到的，我们是按照怎样的思路研究特殊三角形的？

师生活动：教师引导学生总结出把边的大小特殊化得到等腰三角形；把边的位置特殊化，即角特殊化得到直角三角形，三角形特例的研究思路是“定义—性质—判定”，研究的内容是边角等基本要素和三线等相关要素的各自关系.

问题2：研究了三角形后，你认为需要进一步研究什么图形？

师生活动：当学生提出需要研究四边形后，进一步追问：你学习了四边形的哪些性质，并进一步提出问题，在研究了一般的四边形后，你觉得需要进一步研究什么？让学生类比三角形的特殊化得到四边形的特例，并结合现实情境体会研究平行四边形的必要性，提出研究平行四边形的问题.

问题3：类比等腰三角形，你认为平行四边形应该怎样研究？研究什么？

师生活动：引导学生规划平行四边形的研究方案，确定研究内容：边、角、对角线.

边、角是平行四边形的基本要素，是显性的，学生容易看出，而对角线是隐性的，学生一时难以看出.教师应该在学生提出平行四边形的研究问题后，让学生画出一个平行四边形，并分析图形的结构，分离出图形的构成要素（边），需要研究边的大小关系和位置关系（内角），因此得到需要研究边和角的大小；其次要分析，三角形中连接任意两个顶点的线段都是边，而在四边形中则还可能得到不是边的线段——对角线，对角线在探索多边形内角和中起到了关键作用，因此有必要研究对角线.

当然，在具体教学中，可以让学生先研究平行四边形的边、角性质，再研究对角线的性质.但是在确定平行四边形研究内容时，不能不提出对角线的研究问题.

［1］王群.平行四边形性质（1）教学设计［J］.中国数学教育（初中版），2016（6）：1-4.

［2］史宁中.图形与图形关系的抽象［M］.长春：东北师范大学出版社，2015.

［3］史宁中．漫谈数学的基本思想［J］．数学教育学报，2011，20（4）：8．

2017—02—12

郑燕红（1981—），女，中学二级教师，吴增生名师工作室成员，主要从事数学课堂教学研究.