在教学顺序下求线性目标函数最值方法的尝试

彭海梅

摘要：线性规划是运筹学的一个重要分支，也是近几年高考命题的热点，它在实际生活中有广泛的应用。但在实际教学中，受教材教学先后顺序的限制，要求我们在教学过程中，必须有一些创新，在创新的过程中还不能丢失数学的思想。本人在教学中利用数形结合思想，借助数轴上数的大小特点，通过平移方法寻找可行域内最左（右）的点，从而得到线性目标函数的最值。

关键词：线性规划 最值 数形结合 平移

线性规划是运筹学的一个重要分支，而简单的线性规划已编入高中新教材，作为一个新增知识点，它不仅只是对直线内容的深化，更多的是与其它知识的交汇，同时也是增加学生对数学在生活中应用的理解。它能解决一些线性约束条件下求线性约束条件的最值问题，其基本思想即在一定线性约束条件下，通過数形结合的思想求线性目标函数的最值，整个过程主要借助于平面图形，运用这一思想能够比较有效的解决线性规划问题。近些年来线性规划问题是解析几何的重点，每年高考必有一道小题，分值在5分左右。

在实际的教学中，本校对数学教材的教学顺序是：必修1—必修4—必修5—必修2—必修3。而我们要完成的教学任务《简单线性规划》在必修5第三章第3小节，在教学过程中会利用到必修3第三章《直线与方程》的相关概念（斜率、交点坐标、截距）。这又受教材教学先后顺序的影响，要求我们在学习线性规划问题时，必须要考虑回避直线与方程对教学和学生认知的影响。本人在实际教学中，对求线性目标函数最值的方法进行一些尝试。

现举例加以说明。

一、前期铺垫，总结经验

为了更好的回避必修2《直线与方程》相关知识对线性规划的影响，在二元一次不等式（组）表示平面区域学习的时候进行升华与总结。

例1、画出下列不等式表示的平面区域

指导学生自主完成：①建立直角坐标系；②画出等式图像；③确定区域。

解析如下：

总结方法：确定二元一次不等式表示平面区域方法是“线定界，点定域”，定边界时需分清虚实，定区域时常选原点（C≠0）。

抛出问题：能否在画出等式图像时，快速确定不等式表示的区域呢？指导学生继续观察图像。

从上面例子，我们知道一条直线就能瓜分平面了，而不等式组就是不断确定你想要的那个平面，由此可以发现对于不等式 （A>0）表示直线 （A>0）的右上（下）方区域，越往右偏离直线的点坐标（x，y）代入式子

所得值越大；不等式 （A>0）表示直线

（A>0）的左下（上）方区域，越往左偏离直线的点坐标（x，y）代入 所得值越小。这对于解决线性规划问题，做了很大的埋伏，为后续教学做了很好的铺垫。

二、单点解析，检验成果

例2、（2012年山东高考）设变量x，y满足约束条件

则目标函数 的取值范围是（ ）

分析：求取值范围，实质就是求 的最大值与最小值。

解：先画出满足不等式的可行域. 如图阴影部分不妨令z=0，作参考直线 ： 。

通过平移，由图可知，当直线 过点A时z取得最大值，当直线 过点B时z取得最小值。

由 得A（2，0），

因此zmax=6，

由 得 ，

因此 。故选A。

我们可以知道用图解法解决线性规划问题的一般步骤：

①画出可行域；

②作参考直线 ；

③通过平移以及数形结合，确定目标函数最值位置 ；

④解二元一次方程组，求出点的坐标；

⑤计算线性目标函数的最值。

从上面的例子，我们知道，在线性约束条件下，求线性目标函数z=Ax+By（A>0）这种形式的最值问题，是高中线性规划中常见的问题，这类问题的解决，关键在于能够正确理解二元一次不等式组所表示的区域，利用参考直线，寻找可行域内最左（右）的点，即利用图形及平移求最优解及线性目标函数的最值。

三、跨越障碍，思想升华

为了加深学生对数形结合思想及平移方法的理解，特举更具有代表性的一类问题：已知目标函数的最值求参数的问题。

例3、若实数x，y满足不等式组 目标函数 的最大值为2，则实数 的值是_____________。

分析：解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的定点或边界取得，运用数形结合的思想、平移方法求解，同时需要注意目标函数的几何意义。

解：先画出满足不等式的可行域。 如图阴影部分。

作参考直线 ： ，由图可知，

当直线 过点A时，t取得最大值。

由 得 代入 中，解得 =2。

从上面例子可以看出今后我们在遇到此类问题时，首先想到用数形结合思想，以及平移方法去解决，因为它更直观、形象。 在高考时，能够让学生做得更快、更准。

线性规划思想不仅与函数或不等式有交汇，而且在实际生活中求最值问题时，也有交汇。如在教科书中利用线性规划解决物资问题、产品安排问题与下料问题，引导学生应用数学知识解决实际问题，使学生体验数学在解决实际问题中的作用，在整个的学习过程中，着重培养学生的数形结合思想。虽然解决此类问题的方法不是唯一的，但我们在教学中，需要考虑培养学生学会思考的习惯，以及数学思想的建立。

综上所述，线性规划是直线方程的继续，是直线方程知识的应用，但受教材教学顺序的影响，我们在教学过程中，必须要面对这样的事实，这就要求我们在教学中必须有一些创新，在创新的过程中还不能丢失数学的思想。本人在教学中，从宏观的角度来把握，先期借鉴数轴上数的大小特点，升华了二元一次不等式（组）表示的区域的意义，借助参考直线，学会寻找可行域内最左（右）的点，利用数形结合思想及平移的方法很容易在可行域内找到最值。通过课堂及课后的反馈来看，学生不仅解决了简单线性规划问题，还对数形结合思想有更进一步的思考。在教学中教师不为方法而讲方法，而在此方法的启发下，学生发现了新方法。因此，本人在教学中的尝试，可以算是成功的，并且在解决交汇知识模块时，思想也具有通用性。

利用线性规划思想去理解高中一些求最值问题，实际上是对数形结合思想的提升。借助参考直线，通过平移的方法去求线性目标函数的最值，也是对教学方法的一种尝试。 通过作图解决最值问题，是从一个新的角度对求最值问题的理解，对于培养学生最优思想的形成是非常有益的。

（作者单位：贵州省天柱县第二中学）