加法累数制与乘法累数制

2017-05-02张新春

湖南教育 2017年15期

文︳张新春

加法累数制与乘法累数制

文︳张新春

1.加法累数制与罗马记数

先人们在利用刻痕记数时，会遇到“奈何姓万”的麻烦。于是，在一次次的刻痕过程中，他们逐渐意识到可以用一些简单的办法来处理：刻到一定的数量后，为了表示比当前刻的再多一个，不再用多刻一条的办法了，而是改用一个新的符号表示。比如，为了表示10，不是在刻了9条后再刻1条，而是用一个新的记号X表示。当然，20就用XX表示，而当X累加到一定个数时（比如X个）后，又创造一个新的符号表示。这就是加法累数制度。

所谓加法累数制，是指这样一种记数方法，它为每一个较高级的单位创造一个新的符号，而记录多少个单位就把这个单位重复写多少次（有时再配以适当的其他处理，随后将介绍）。由于创造了符号（比如用M表示1000），与简单的刻痕记数相比，这种加法累数制的优势是明显的：只要想想写一个M与刻1000道刻痕的区别就知道了。罗马记数就是典型的加法累数制。

罗马记数于12世纪以前盛行于欧洲，今天某些特定的场合还在使用，比如与文件内容、书籍章节等相关的序号。罗马记数用一些拉丁大写字母表示数目，下表中是基本的罗马记数符号。

罗马记数基本字符I V X L C D M相应的阿拉伯数字表示1 5 10 50 100 500 1000

用V表示5，据说是因为V是一只手掌的形象（四指并拢，大拇指分开），字母X表示10，则是因为X是两个V合起来。C是表示一百的拉丁语centum的第一个字母，而L则是由C的一半变形而得。M是千的拉丁语mille的第一个字母。

作为一种典型的加法累数制记数法，罗马记数有“重复几次”“左右加减”和“加横线”等法则。

（1）“重复几次”：若干个相同符号并排排列，等于各个符号所表示数相加的总和。比如，III表示3，XX表示20，CCC表示300等。“重复几次”的法则是加法累数制记数法的基本特征。

（2）两个不同符号并列，若右边符号表示的数大于左边符号表示的数，由“减法原则”即大减小的原则，表示大数与小数的差，比如，IV=5-1=4，IX=10-1=9。

（3）两个不同符号并列，若右边符号表示的数小于左边符号表示的数，由“加法原则”即两数相加的原则，表示大数与小数的和。比如，VII=5+1+ 1=7，XVI=10+5+1=16。

（4）在符号上加横线，表示“1000倍”，比如，V=5×1000=5000。

像罗马记数这样的加法累数制记数法还是相当笨拙的，一个简单的数，写起来会有一长串，比如，3888=MMMDCCCLXXXVIII。

另外，毕竟符号是有限的，要表示大数，会有更明显的局限。更重要的是，罗马记数的四则运算异常复杂，甚至一些基本的四则运算都只有专家才掌握。丹齐克先生在《数：科学的语言》一书中描述过一个关于15世纪一位德国商人送儿子求学的故事：“话说这位商人有一个儿子，他想使儿子学些高深的商业教育。于是他去求教大学里的一位名教授，该把儿子送到哪儿去念书。教授回答说：如果这位青年的数学课程将只限于加和减，他可以进国内的大学学习这些功课；至于乘和除，还是意大利最先进。他认为，只有到那里去才能得到那种高等的教育。”因此，这种记数法不得不退出历史舞台。

2.乘法累数制与中国记数

乘法累数制是将加法累数制中的重复几次的办法改为乘法。比如，500，借用罗马记数的符号，不用把表示100的符号C重复写5次（记作CCCCC），也不用发明一个新符号D表示500，只需把表示5的符号V和表示100的符号C写在一起，即VC。这样做即可避免重复。

中国的记数法是典型的乘法累数制。比如，4560，不用写作“千千千千百百百百百十十十十十十”，也不需要发明表示4000、500、60等数的新符号，而只需记为“四千五百六十”。

显然，乘法累数制也需要一些表示特定的数的符号（不然就成了“结绳记数”或“刻痕记数”了）。中国记数法使用十进的乘法累数制。用以下13个字：一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万，就可以表示相当大的数。《周髀算经》中即有很多大数。比如，“从周南至日照处三十万二千里，周北至日照处五十万八千里，东西各三十九万一千六百八十三里半”。这里的三十九万一千六百八十三=39×10000＋1×1000＋6×100＋8× 10＋3。

而据考证，以上13个字早在甲骨文中就有了，只是写法有些不同，大体如下图所示。