谈格点多边形面积的教学

文︳史沛良

谈格点多边形面积的教学

文︳史沛良

格点多边形是指每个顶点都是直角坐标平面上的格点的多边形（如图1所示）。关于格点多边形的面积，有如下的结论：

图1

Pick定理：如果一个面积为S的格点多边形，其边界上有a个格点，内部有b个格点，则S＝＋b－1。

苏教版小学数学教材五年级上册中编排了有关格点多边形的面积问题（如图2所示）。

图2

在小学数学课堂中研究这个问题，其方法只能是不完全归纳，即从简单的特例出发，寻找一般的规律。由于Pick定理比较复杂，小学生不可能像真正的科学研究那样把这个结论发现出来，而是需要适当的引导。

首先，教材应该直接指出，我们要研究的格点多边形面积计算方法，与这个多边形内部的格点数及边界上的格点数有关。苏教版教材并没有按这个思路编排，而是通过对三个小问题的研究逐步揭示问题——先让学生研究如图2所示的问题，得到结论后，再研究内部有2个点的问题，然后提出一般问题（如图3所示）。

图3

这个做法有一个不好的地方：学生没有机会主动研究一个完整的问题，而是被动地研究被肢解了的问题。这里的一个完整的问题就是：格点多边形的面积与其内部的格点数、边界上的格点数有什么关系。

其次，应对学生进行解决问题的思路的指导。在这里，解决问题的思路包括两个方面的意义：一是从简单到复杂，二是分离变量。前者是我们非常熟悉的，在此，笔者着重谈谈后者。

格点多边形的面积计算与两个因素有关，为了研究方便，我们应该先固定一个因素，研究面积与另一个因素的关系。这种方法很重要，应该向学生介绍。当学生认同这种思路后（学生很容易认同这种思路，毕竟从某种意义上来说，这也是一种从简单到复杂的思路），教师就应该让学生主动设计研究思路：是先固定内部的点还是先固定外部的点？若是先固定内部的点，最开始应该研究内部为几个点的情况？若是先固定外部的点，又如何？这样的问题，学生不一定能独立解决，但教师应该引导学生思考，直到制订出解决问题的基本方案，然后才着手探究。

第三，探究过程应该是系统化的。以先固定内部的点数为例，所谓系统化，在这里表现为两个方面：第一个方面，我们应该从内部点数最少的情况开始研究，逐一增加内部点数，即从内部点数为0开始，相继研究内部点数为1、2、3……的情况，以便发现规律；第二个方面，对于确定的内部点数的问题，边界上的点数也应该系统地变化，从最少的情况开始，逐一增加。

内部0个点，边界上至少3个点。边界上的点逐一增加（如图4所示），面积分别为不难发现，每增加一个边界上的点，面积增加或者说，边界上的一个点贡献面积个单位。对于边界上有a个点而内部没有点的情况，面积S=

图4

内部1个点，边界上至少4个点。边界上的点逐一增加（如图5所示），通过观察，我们可以发现图形的面积依次增加，进一步确定：边界上的一个点贡献面积个单位。并归纳出，对于边界上有a个点、内部1个点的情况，面积。在此基础上，我们可一方面继续增加内部的点数，一方面比较当边界上的点数相同时，内部的点数变化与面积变化的关系，继而归纳出Pick定理。

图5

（作者单位：长沙县龙塘小学）