用改进的弦法求解奇异问题

侯新华,初元红,刘 杰,蒋红敬

(1. 湖南工业职业技术学院商贸旅游系,中国 长沙 410208；2.黄河科技学院,中国 郑州 450063)

用改进的弦法求解奇异问题

侯新华1,初元红2,刘 杰2,蒋红敬2

(1. 湖南工业职业技术学院商贸旅游系,中国 长沙 410208；2.黄河科技学院,中国 郑州 450063)

在Hilbert空间，将外推技巧和弦线法相结合，得到新的迭代格式，用来求解奇异问题，使改进的弦线法收敛速率由0.618 034提高到0.381 966，并通过数值例子检验.此结论对一般的Banach空间同样适用.

Hilbert空间；弦法；奇异问题；几何特征；收敛速率

自上世纪六十年代开始，Ostrowski[1]和Traub[2]就展开研究如何构造一些解非线性方程的迭代格式，使得每步计算量较少但收敛阶较高，由此开启了现在十分热门的解非线性方程的算法研究.其基本思想为：利用前面获得的关于方程左端函数的信息—在函数充分光滑的前提下，逐步迭代转化为零点的信息.如Newton法[3-4]，每步只需要计算一个函数值和其导数值，其收敛阶为2.上面的情况只适用于函数充分光滑且在解点处导算子的逆存在，当导算子的逆不存在时，无论是算法的收敛条件，收敛性还是收敛速率都受到很到的影响，于是Decker和Kelley[5-6]等人针对上面特殊情况进行了研究，首次提出Newton法在一个星形区域内仍然收敛且为线性收敛.之后，杨月梅和潘状元[7]又证明了Newton法的变体弦线法的收敛性并得到了渐进收敛率0.618 034.本文修正了弦法，使得渐进收敛率提高到0.381 966.

1 主要引理

设F为Hilbert空间H到H的光滑非线性算子，x*为方程F(x)=0的解.考虑用弦线法[8-9]求解非线性方程，其迭代如下：

xn+1=xn-F(xn,xn-1)-1F(xn).

(1)

假设F′(x*)为指数为0的Fredholm算子，用N和X表示F′(x*)零空间和值域，用PN和PX表示H到N和X上的投影算子且满足[10]：

引理1 若F满足下列条件:

(1)dimN=1,

(2)B(z)=PNF″(x*)(z,PN)为N上的可逆算子,∀z∈N,

引理3 ∀x,y∈H，H是Hilbert空间，t为参数，则有

‖tx+(1-t)y‖2=t‖x‖2+(1-t)‖y‖2-t(1-t)‖x-y‖2.

(2)

2 主要结论

我们提出如下改进迭代格式：

(3)

这里tn是依赖于n的待定常数，在奇异点附近，弦法在F′(x*)的零空间N方向收敛速度特别慢，我们主要想法是选择适当tn，从而加速迭代格式(3)在零空间N方向收敛速度.

(4)

利用Hilbert空间的特征不等式得

将上式带入得

为了提高算法的收敛速率,令

3 计算实例

取初始点x1=0.1，x2=0.5，y1=0.12和y2=0.5，部分计算结果见表1.

表1 部分计算结果

4 结论

[1] BALL L B. Convergence of the Newton process to multiple solutions[J]. Numer Math, 1966,9(1):23-37.

[2] REDDIEN G W. On Newton’s method for singular problems[J]. SIAM J Numer Anal, 1978,15(5):993-996.

[3] 初元红,孙贵玲. 用改进的Newton法求解非线性奇异问题[J].湖南师范大学自然科学学报, 2014,37(5):81-84.

[4] 付永钢.奇点附近牛顿迭代法的加速[J].数值计算与计算机应用, 2002,32(2):139-143.

[5] DECKER D W, TELLEY C T. Convergence rates for Newton’s method at singular point[J]. SIAM J Numer Anal, 1983,20(2):296-314.

[6] DECKER D W, KELLEY C T. Convergence acceleration for Newton’s method at singular point[J]. SIAM J Numer Anal, 1982,19(1):219-229.

[7] 杨月梅,潘状元. 用非精确的平行割线法求解奇异问题[J]. 数学的实践与认识, 2013,43(6):240-245.

[8] 杨忠华.弦法在奇异点处一个改进格式[J].高等计算数学学报, 1990,(2):151-157.

[9] 初元红,潘状元，刘晓敏.用修正的Broyden方法求解奇异问题[J].哈尔滨理工大学学报, 2006,11(1):39-42.

[10] 刘炳初. 泛函分析[M]. 北京：科学出版社, 2004.

(编辑 HWJ)

The Modified Chord Method for Solving Singular Problem

HOUXin-hua1,CHUYuan-hong2*,LIUJie2,JIANGHong-jing2

(1.Business and Tourism Department, Hunan Industry Poletechnic, Changsha 410208, China;2.Huanghe Science and Technology College, Zhengzhou 450063, China)

In Hilbert space, the singular problems are solved by modifying secant method and using the extrapolation technique. Our modified chord method is shown to yield a new sequence that improves the convergence rate from 0.618 034 to 0.381 966. This method is tested by numerical examples. This new approach can also be applied to a Banach space.

Hilbert space; chord method; singular problems; geometry character; convergence rate

10.7612/j.issn.1000-2537.2017.02.014

2016-11-20

郑州市科技局资助项目(20141374)和(20141375)

O241

A

1000-2537(2017)02-0085-04

*通讯作者,E-mail：chuyuanh@163.com