一阶连续可微复值函数的开映射定理

董新汉，刘宗盛

(湖南师范大学数学与计算机科学学院，中国 长沙 410081)

一阶连续可微复值函数的开映射定理

董新汉，刘宗盛

(湖南师范大学数学与计算机科学学院，中国 长沙 410081)

将解析函数的保区域定理、最大模定理和惟一性定理推广至一阶连续可微的复值函数.并进一步将其拓展到高维空间.对解析函数根点的重数、曲线的index和拓扑度进行了讨论和展望.

保区域定理；最大模定理；惟一性定理

在普通本科院校数学系的复变函数教材里[1-4]，介绍了解析函数f的保域性定理，即f是一个开映射.这个性质隐含解析函数的最大模定理.围绕该定理的研究很多[5-7]，但大都超越本科生的知识范围.本文仅在数学分析的水平上给出一个推广，因此本科生亦可接受.通过推广这个定理，可加深对隐函数存在定理、二元函数极值定理有关知识的学习.在此基础上通过延伸讨论，可开拓视野.先介绍简单而特殊的情形.

1 保域性定理与最大模定理

定理1(保域性定理) 设Ω⊂是一个区域，f(z)=φ(x,y)+iψ(x,y)∈C1(Ω)且判别点集(或奇点集)Z={z:Jf(z)=0}是Ω中的离散集，其中是Jacobi行列式，则f(Ω)是一区域.

注 应该注意，非常数的解析函数f,它的判别点集(或奇点集)Z={z:Jf(z)=0}是一离散集.在定理1中，Z={z:Jf(z)=0}是Ω中的离散集的条件是不可去掉的，例如f(x,y)=u(x,y)+ic,其像落在水平线v=c上.

由于区域是连通的开集，并且连通集的连续像是连通的，那么对定理1只需要证明f(Ω)是一开集，这个证明由引理1和引理2构成.为此首先证明:

引理1 设Ω⊂是一个区域，f(z)=φ(x,y)+iψ(x,y)∈C1(Ω).如果z0∈Ω,w0=f(z0)=u0+iv0,Jf(z0)≠0,则存在ρ>0使得C(w0,ρ)⊂f(Ω).

证 设z0=x0+iy0,P0=(u0,v0,x0,y0),a=φx(x0,y0),b=φy(x0,y0),c=ψx(x0,y0),d=ψy(x0,y0).考虑

由隐含数存在定理，在P0的某邻域D⊂×Ω内由F=0，G=0确定唯一一组函数

它们被定义在w0=u0+iv0的某邻域C(w0,ρ)内，有连续偏导数且x0=x(u0,v0),y0=y(u0,v0),(x0,y0)∈Ω.我们可选ρ>0很小，使得在C(w0,ρ)上通过上述方程组定义的(x,y)所对应的值域E⊂Ω.此表明f(E)=C(w0,ρ)⊂f(Ω).

引理2 设Ω⊂是一个区域，f(z)=φ(x,y)+iψ(x,y)∈C1(Ω),Z={z:Jf(z)=0}是Ω中的离散集.若z0∈Ω满足Jf(z0)=0,则存在ρ>0使得C(w0,ρ)⊂f(Ω),其中w0=f(z0).

证 因为Z是离散的，我们可找δ>0满足

(1)

{f(0<|z-z0|≤δ)}∩{f(z0)}=∅.

(2)

由(1)和引理1，我们知道D:={f(0<|z-z0|<δ)}是一连通开集，因此是一连通区域.由f的连续性和(2)，D的边界点落在{w0}∪{f(|z-z0|=δ)}上，则w0=f(z0)必须是D的孤立边界点，因此D∪{w0}是一区域.此表明存在ρ>0使得C(w0,ρ)⊂f(Ω).

由引理1和引理2得到定理1.由定理1立即得到

定理2(最大模定理) 设Ω⊂是一个区域，f(z)=φ(x,y)+iψ(x,y)∈C1(Ω)且Z={z:Jf(z)=0}是Ω中的离散集，则|f(z)|在Ω内不能达到最大.

由上面的证明可知，以上结论完全可推广到高维空间.

2 零点的孤立性定理

下面在定理1的条件下，介绍零点的孤立性定理.该定理的证明可利用引理1的隐函数定理的局部同胚性质直接得到，若有意使用下面的证明，它与数学分析二元函数极值的判定定理的证明相同.

定理4(零点的孤立性定理) 设Ω⊂是一个区域，w=f(z)=φ(x,y)+iψ(x,y)∈C1(Ω),z0∈Ω,Jf(z0)≠0,则存在δ0>0使得f(z)-f(z0)在0<|z-z0|≤δ0内没有零点.

证 设a=φx(x0,y0),b=φy(x0,y0),c=ψx(x0,y0),d=ψy(x0,y0),有

Jf(z0)=ad-bc≠0.

(3)

由一阶连续可微条件可得到

f(z)-f(z0)=(a+o(1))(x-x0)+(b+o(1))(y-y0)+

i((c+o(1))(x-x0)+(d+o(1))(y-y0))=

(a+ic)(x-x0)+(b+id)(y-y0)+o(1).

假设x-x0=ρcosθ,y-y0-ρsinθ,上式可以简化为

f(z)-f(z0)=ρ(h(θ)+o(1)),

(4)

这里h(θ)=acosθ+bsinθ+i(ccosθ+dsinθ)和

(5)

注意到

|h(θ)|2=(acosθ+bsinθ)2+(ccosθ+dsinθ)2=

(a2+c2)cos2θ+(b2+d2)sin2θ+2(ab+cd)cosθsinθ.

观察实对称二次型F(x,y)=(a2+c2)x2+(b2+d2)y2+2(ab+cd)xy,由(3)可知它的顺序主子式P1=a2+c2>0和

P2=(a2+c2)(b2+d2)-(ab+cd)2=(ad-bc)2=|Jf(z0)|2>0,

因此F(x,y)是正定二次型.设m=minθF(cosθ,sinθ)=min|z|=1F(z)=minθ|h(θ)|2.由正定性有m>0.由(4)和(5)，得到存在δ0>0使得当0<|z-z0|=ρ≤δ0时

因此f(z)-f(z0)在0<|z-z0|≤δ0内没有零点.

毫无疑问，上面的定理也可以推广到高维空间.

3 零点重数及有关展望

当Jf(z0)=0时，在C1的情形下我们没有函数的太勒展开，因此没有m阶零点和根点的重数概念.为了定义重数，需要引入新的概念，例如引入degree或曲线的index等概念[8-13]，这样可将研究对象进一步拓展到连续函数，这方面的研究将另文展开，本文不涉及.下面证明一个有限重数的结论，先要引进一个概念.

定义[8]假设X和Y是两个拓扑空间，f是X→Y的连续映照，对每个紧集E⊂Y,均有f-1(E)也是紧的，则称f是逆紧映射(proper mapping).

命题1 设Ω⊂是一个区域，f(z)=φ(x,y)+iψ(x,y)∈C1(Ω)是逆紧的.设Z={z:Jf(z)=0}和w0∉f(Z),则f-1(w0)是一有限点集.

证 由逆紧的定义，f-1(w0)是一紧集.任取z∈f-1(w0),则z∉Z.再由定理1知，存在δz>0满足|f(ξ)-w0|>0,0<|ξ-z|<δz.换言之{ξ:0<|ξ-z|<δz}∩f-1(w0)=∅.因此f-1(w0)是一离散紧集，而离散紧集必须是一有限集.

对于解析函数，有以下关于零点重数的定理.

定理A[14-15]设Ω,G是复平面上的区域，f是Ω到G的全纯逆紧映射(analytic proper mapping),则存在正整数k(称degree)满足nf(w,Ω)≡k,∀w∈G,这里nf(w,Ω)表示方程f(z)=w在Ω内根的个数(计重数).

将定理A进行推广，去掉逆紧的概念，得到如下的定理B.

定理B[11-12]设f在Ω⊂上解析且连续到边界，假设f(Ω)f(∂Ω)=∪i≥0Wi是连通分支分解.则存在正整数ki使得nf(w,Ω)≡ki,∀w∈Wi.

注 在定理B中，存在一个极端的情况[16]，即存在f满足f(Ω)f(∂Ω)=∅.

Riemann-Hurwitz公式[15，17]设Ω是W复平面上的区域，它们的连通数分别是c(Ω),c(W)<∞.又设f是Ω到W的全纯逆紧映射具有W=f(Ω),设f的degree为k,奇点集Z={z:f′(z)=0}的个数为v(按重数计)，则c(Ω)-2=k(c(W)-2)+v.

在C1条件下可以推广根点的重数的定义[13]，此时可以考虑上面的定理B以及Riemann-Hurwitz公式.这些是很有研究价值的问题.

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(编辑 CXM)

On Open Mapping Theorem of Complex Valued Functions withC1Condition

DONGXin-han,LIUZong-sheng*

(College of Mathematics and Computer Science, Hunan Normal University, Changsha 410081, China)

The open mapping theorem, the maximum modulus theorem and the uniqueness theorem are generalized from analytic functions to complex valued functions withC1condition. Furthermore, the same results in high-dimensional space are established, the applications of the multiplicity of root, index and degree are discussed.

open mapping theorem; maximum modulus theorem; uniqueness theorem

10.7612/j.issn.1000-2537.2017.02.013

2016-11-14

国家自然科学基金资助项目(11571099);高等学校博士学科点专项科研基金资助项目(20134306110003);湖南省教育厅教改项目(湘教通[2010]243号)和科研资助项目(14K057)

G420；O174.5

A

1000-2537(2017)02-0081-04

*通讯作者,E-mail：lzsheng1992@163.com