一类广义Jacobi矩阵的逆特征值问题

孟纯军,姜婷婷

(湖南大学数学与计量经济学院，中国 长沙 410082)

一类广义Jacobi矩阵的逆特征值问题

孟纯军,姜婷婷

(湖南大学数学与计量经济学院，中国 长沙 410082)

本文研究了一类广义Jacobi矩阵的逆特征值问题，给出了该问题有解的充要条件，并讨论了解的唯一性.进一步，本文给出算法计算该问题的解，数值实例说明算法是行之有效的.

Jacobi矩阵;广义Jacobi矩阵;特征值;逆特征值问题

矩阵的逆特征值问题来源很广泛，如自动控制、系统识别、主成份分析、遥感、分子频谱分析、量子物理等[1].在数学物理问题中，根据给定系统的方程式和定解条件求系统的变化状态称为正问题；另一方面，给出方程的解，求方程的系数及边界条件，称为数学物理反问题.著名的Sturm-Liouville问题的反问题就是利用特征值或特征函数来确定Sturm-Liouville方程的系数及边界条件.Sturm-Liouville反问题离散化可归纳为一类Jacobi矩阵特征值反问题[2].弹簧-质点系统的振动模型中，若已知振动系统的全部固有频率及其他一些子系统的结构特征，来确定该模型中的物理参数质量mi和弹性系数ki，称为弹簧-质点模型振动反问题，这类问题也可归结于Jacobi矩阵的逆特征值问题[3-4].

Jacobi矩阵是特殊的对称三对角矩阵，要求其副对角线元素全为正.因为Jacobi矩阵的来源非常广泛，其特征值具有严格隔离的良好特点[5],其逆特征值问题一直是数值代数的研究热点.较早研究Jacobi矩阵的逆特征值问题是Hald[6].他研究的问题为： 给定实数λ1<λ2<…<λn，及μ1<μ2<…<μn-1，求一个Jacobi矩阵Jn,使得Jn的特征值为λ1,λ2,…,λn，并且Jn的n-1阶顺序主子阵的特征值为μ1,μ2,…,μn-1.文献[6]中给出了有解的条件及解的个数，求解的算法，但该算法当n(n≥35)比较大时误差很大.Boor 和Golub在文献[7]继续研究该问题，并提出了新的算法，进一步提高了算法的精度.

本文继续研究Hald所提出的问题，着重研究求解该问题的算法，并将Jacobi矩阵进行推广，即如下类型的广义Jacobi矩阵：

(1)

其中bi>0，(i=1,2,…,n-1),ε>0.当ε=1时，Gn为Jacobi矩阵.本文着重研究计算广义Jacobi矩阵逆特征值问题的算法，该算法也能计算Hald研究的问题.数值实例表明算法是有效的.我们还将本文的算法与Boor和Golub文献[7]中的算法进行比较，数值实例说明本文的算法更有效，精度更高.

本文研究的问题具体描述如下：

问题：给定2n-1个实数λ1<λ2<…<λn和μ1<μ2<…<μn-1,以及正实数ε，构造一个形如(1)的n阶广义Jacobi矩阵Gn，使得λ1,λ2,…,λn为Gn的特征值，μ1,μ2,…,μn-1为其n-1阶顺序主子阵Jn-1的特征值.

具体内容安排如下：在第二部分讨论问题有解的条件以及解的唯一性，得到有解的充要条件.在第三部分讨论计算问题解的算法，并给出了两个数值实例.数值实验表明，与文献[6]和[7]的算法比较，本文的算法精度更高，可行性更好.

1 解的存在唯一性

引理1[5]若λ1,λ2,…,λn为n阶Jacobi矩阵Jn的特征值，μ1,μ2,…,μn-1为其对应的n-1阶顺序主子阵的特征值，则λi<μi<λi+1,(i=1,2,…,n-1)(严格隔离性)

引理2[6]设给定2n-1个实数λ1<λ2<…<λn和μ1<μ2<…<μn-1满足λj<μj<λj+1,(j=1,2,…,n-1)，则存在唯一的n阶Jacobi矩阵Jn,使得λ1,λ2,…,λn为Jn的特征值，μ1,μ2,…,μn-1为其n-1阶顺序主子阵Jn-1的特征值.

定理 给定2n-1个实数λ1<λ2<…<λn和μ1<μ2<…<μn-1,以及正实数ε，则存在形如(1)的广义Jacobi矩阵Gn，使得λ1,λ2,…,λn为Gn的特征值，μ1,μ2,…,μn-1为其n-1阶顺序主子阵Jn-1的特征值的充要条件为λj<μj<λj+1,(j=1,2,…,n-1).并且，这样的广义Jacobi矩阵Gn是唯一的.

ai(i=1,2,…,n)，bj(j=1,2,…,n-1)，εbn-1，

2 数值算法

其中h(λ)为其n-2次多项式，则

(2)

由留数定理可得，

(3)

由严格隔离条件λj<μj<λj+1,(j=1,2,…,n-1)，容易验证，αj>0,(j=1,2,…,n-1).

其中

由文献[8]可知，

所以

(4)

由特征值与矩阵迹的关系，可知：

(5)

由式(2)，(3)和(4)，及αj>0,(j=1,2,…,n-1)，得

(6)

(7)

(8)

由式(6)和(7)可得

(9)

(10)

从而

bn-2=‖qn-1Λ-an-1qn-1‖2

(11)

qn-2=(qn-1Λ-an-1qn-1)/bn-2

(12)

这里，‖·‖2指的是欧几里得范数，同理可得an-2,…,a1，bn-3,…,b1,从而得到所求的满足条件的广义Jacobi矩阵Gn.

综上所述，可得到如下算法.

算法.

输入2n-1个实数λ1<λ2<…<λn和μ1<μ2<…<μn-1，以及正实数ε；

Step 1. 检查是否满足严格隔离性，λj<μj<λj+1,(j=1,2,…,n-1)，若成立，接step 2, 若不成立，该逆特征值问题无解；

Step 4. 令向量vn=0,Λ=diag(μ1,μ2,…,μn-1)，

Fori=n-1:-1:2

qi-1=viΛ-aivi-bivi+1;

bi-1=‖qi-1‖2;

End

3 数值实例

例1 给定11个实数如下：

λ1=-3,λ2=-2,λ3=1,λ4=3,λ5=4,λ6=6

μ1=-2.5,μ2=-1,μ3=2,μ4=3.5,μ5=5

解 应用上述算法，通过Matlab编程计算得到矩阵,

算例表明，所计算得到的广义Jacobi矩阵较好的满足了所给的特征值条件，因此算法是有效的.

当n分别为25,50,100,200时，用本文的算法(ε=1)来求这个n阶Jacobi矩阵，并与文献[7]的结果进行比较.

解 应用上述算法，即ε=1时，通过Matlab编程计算得到n阶Jacobi矩阵的元素，并与精确的Jacobi矩阵对角线元素及第二对角线元素-2和1进行最大误差分析，结果如表1所示.

表1 数值结果

算例表明，本文的算法比文献[7]的算法精度高.

[1] CHU M T. Inverse eigenvalue problems[J].SIAM Rev,1998,40(1):1-39.

[2] 邓远北.几类线性矩阵方程的解与PROCRUSTES问题[D].长沙：湖南大学，2003.

[3] 周树荃，戴 华.代数特征值反问题[M].郑州：河南科学技术出版社，1991.

[4] PETER N, FRANK U. Inverse eigenvalue problems associated with spring-mass systems[J].Linear Algeb Appl, 1997,254(1):409-425.

[5] J.H.戈卢布，C.F.范洛恩. 矩阵计算(中译本，袁亚湘等译)[M]. 北京：科学出版社, 2001.

[6] HALD O H. Inverse eigenvalue problems for Jacobi matrices[J]. Linear Algeb Appl,1976,14(1):63-85.

[7] BOOR C D, GOLUB G H. The numerically stable reconstruction of a Jacobi matrix from spectral data[J]. Linear Algeb Appl,1978,21(3):245-260.

[8] 钟 璨.对称箭形矩阵的逆特征值问题[D].长沙:湖南大学，2007.

(编辑 HWJ)

A Class of Inverse Eigenvalue Problems for the Generalized Jacobi Matrix

MENGChun-jun*,JIANGTing-ting

(College of Mathematics and Econometrics, Hunan University, Changsha 410082, China)

In this paper we considered a class of inverse eigenvalue problems for the generalized Jacobi matrix. The necessary and sufficient conditions under which the problem is solvable are presented. Their uniqueness is also discussed. Furthermore, we provided an algorithm to obtain the solution. Numerical examples were given to illustrate that our algorithm is both feasible and effective.

Jacobi matrix; generalized Jacobi matrix; eigenvalues; inverse eigenvalue problem

10.7612/j.issn.1000-2537.2017.02.012

2016-01-08

国家自然科学基金资助项目(11271117)

O241.6

A

1000-2537(2017)02-0076-05

*通讯作者,E-mail：mengchunjun@hnu.edu.cn