运用“构造法”，创新数学解题思路

朱海燕

摘 要：“数学构造”是数学解题中富有创新精神的一种策略方法。运用“构造法”常常能够拓宽解题思路，让数学问题变得简单而易于理解。实践中，可以运用“作图构造”“补白构造”“数值构造”“极端构造”“动态构造”和“借理构造”等，使内隐数量关系、图形关系等变得敞亮起来，以便让学生对数学问题进行创新性建构和解答。

关键词：构造思想；数学构造；解题思路

“构造法”是数学解题常用的方法。通过巧妙的数学构造，常常能够让数学习题中隐含的数学关系显现出来，进而让复杂的数学问题变得简单，让陌生的数学问题变成熟悉。常用的数学构造法有“作图构造”“数值构造”“极端构造”“动态构造”“借理构造”等。通过数学构造，展现数学知识本体的魅力。数学“构造法”体现着学生的创新思维，常常能给人以数学美的享受。

■一、作图构造

著名数学家华罗庚曾经这样说，“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”在小学数学中，“数”与“形”是紧密结合在一起的，它们之间的关系十分密切、十分微妙。在一定条件下，“数”与“形”能够相互转化、渗透。教学中，教师如果能够引导学生“以形观数”，给抽象数学建构形象模型，则一定能够让数学教学闪现出独特的魅力。

例1：幼儿园将一筐苹果分给大班的小朋友。如果平均每个小朋友分5个，则还剩20个；如果平均每个小朋友分得6个，则还缺少30个。那么大班有多少个小朋友？一共有多少个苹果？

分析：这是一道典型的盈亏问题。盈亏问题学生难以理解的是盈（有余）与亏（不足）的关系。为此，许多教师教学时予以过度强化，甚至让学生死记公式：（盈+亏）÷两次分配的差=份数；（大盈-小盈）÷两次分配的差=份数；（大亏-小亏）÷两次分配的差=份数。尽管部分学生记得，但仍然难以理解。其实，如果我们能够构造长方形（如图1），就能形象地揭示两次分配结果之间的关系。我们用长方形的长边表示每个小朋友分得的苹果数，用长方形的宽边表示小朋友总数。

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图1

从上图不难看出，右边两个长方形的面积和也就是苹果两次分配结果相差20+30=50（个），右边两个长方形的横边长为两次分配过程中每个小朋友分得的苹果相差6-5=1（个）。因此右边两个长方形的竖边也就是原来长方形的宽，即小朋友的总人数为：（20+30）÷（6-5）=50（人）。据此，我们可以求出苹果的总数，即50×5+20=270（个），或者50×6-30=270（个）。

■二、补白构造

在数学解题教学中，教师要调动学生的想象力，让学生进行适度补白。通过对几何图形的完整构造，将题目中隐含的数量关系敞亮。格式塔心理学认为，艺术设计应当把握“复杂形”与“简单形”、“不完美形”与“完美形”之间的关系。教师可以让学生通过对称补白、空缺补白、联想补白等策略，利用平移、旋转、添加辅助线等手段对图形进行再造性建构，要让图形成为一种召唤结构，形成一种“形式意味”，进而诱导学生的创造性思维。

例2：求如图2中形体的体积。

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图2

分析：如图2，本题中的形体是一个不规则的几何形体，其底面是一个直角梯形。梯形的上底为3厘米，下底为5厘米，高为4厘米，整个形体的高为6厘米。尽管我们可以运用直柱体的体积公式V=Sh来进行计算，但仍有部分学生不能理解。此时，如果我们引导学生尝试用对称的眼光来审视的话，这个形体作为一个“不完形”，就等待着、召唤着我们对它进行补白、完形，使之臻于完整、完美。为此我们可以进行构造，即用一个完全一样的形体，按照一正一倒的方向与顺序，组合成一个长方体（如图3）。这个长方体的长是8厘米，宽是4厘米，高是6厘米。而拼成的长方体的体积正好是原来直柱体体积的2倍，所以直柱体的体积为：（3+5）×4×6÷2=96（立方厘米）。在这里，笔者巧妙运用对称，建构完形，引导儿童从整体上把握不规则直柱体的本质，通过补白构造让孩子们进行空間想象，培养儿童的数学建构力和创造力。

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图3

■三、数值构造

所谓“数值构造”就是将题目中抽象、隐蔽的条件、关系通过具体数值加以显化。孩子们对抽象的符号有着天然的陌生感，而数值构造则让学生亲近习题。通过具体数值，让抽象的数学问题具体化，进而促进儿童主动分析数量关系。

例3：一场3D电影票原来是15元一张。自降价以后，观众人数增加了一半，收入增加了■。那么，3D电影票降价了多少元？

分析：本题看上去简直无从下手，因为电影票的收入、观众的人数等我们都不知道。但认真读题我们不难发现，正是因为观众人数增加了一半才导致收入增加了■。换句话说，观众人数与增加的收入之间存在着因果关系。据此，我们尝试采用数值构造，期望问题能够得到解决。不妨假设原来观众的人数为1000人，这样原来总的收入为15000元。那么，根据“降价后观众人数增加了一半”可以得出现在的人数为：1500人，根据“收入增加■”可以得出现在的收入为15000+15000×■=18000（元）。那么现在每张3D电影票的价格为：18000÷1500=12（元）。由于原来每张3D电影票的价格为15元，因此3D电影票降价了15-12=3元。复杂的数量关系让我们觉得“山重水复疑无路”，但因为有了具体的数值赋予而显得“柳暗花明又一村”了。

■四、极端构造

所谓“极端构造”，是指我们在解决数学的一般问题时，可以对问题做出“极端化处理”。通过问题的“极端情形”获得对一般问题情形的思考方法。从表面上看，极端构造是一种“特殊法”解题，但深入分析，我们会发现“极端构造法”不能等同于“特殊法”。由于我们视阈的局限，常常不能把握问题的数学本质，而“极端构造”实际上就是将问题中的非本质属性屏蔽，而让本质属性凸显。

例4：一艘大型轮船往返于甲、乙两地，那么是在流水中（包括去时顺水、返回时逆水；或者去时逆水返回时顺水）所花的时间长还是在静水中所花的时间长，抑或一样长呢？

分析：由于本题“不着一数”，所以让我们觉得解题举步维艰。此外，如果我们采用假设法，还必须考虑两种情形，即“去时顺水、返回时逆水；或者去时逆水、返回时顺水”。为此，我们可以将问题情形引向极端来展开思考，即船速等于水速，那么问题情形就变得非常的有趣。船在逆水中航行，由于船速等于水速，所以船是停止不前的。这时，无论花多长时间，船都无法到达对面，从而也就无法完成在两地间往返航行。而船在静水中往返所花的时间总是“往”或者“返”时间的2倍。因此，船往返于两地在流水中所花的时间一定比在静水中所花的时间要长。

■五、动态构造

在数学问题的解决过程中，有时我们可以对题目进行动态处理，让题目中的条件在动态变化的过程中给学生以启示，从而获得解题思路。通过条件中的某个元素的运动或图形的运动等能形成数学题中让人豁然开朗的特殊情形、规整情形。由此，对问题的动态构造往往可以得到新颖、别致的数学解法。

例5：如图4，正方形ABCD和正方形EFGH相互重叠，它们的边长都是4厘米。其中，正方形EFGH的一个顶点在正方形ABCD的中心。那么，重叠部分的面积是多少平方厘米？

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图4

分析：从图中可以看出，两个正方形重叠部分是一个不规则的图形，如果我们根据题目中所给的静态图，那么这一道题就很难做出解答。为此，我们可以作动态想象，想象正方形EFGH绕着E点也就是正方形ABCD的中心旋转。当我们将图中重叠的部分旋转成一个小正方形时，也就是旋转到线段EH垂直于CD或者垂直于BD时，问题就迎刃而解了。那么，一般情形与这种特殊情形之间有没有什么关系呢？答案是有的，如图所示，现在的图形比特殊的标准图形在一边多了一个小三角形，而在另一边则少了一个三角形，把其中的一个三角形旋转90°就会和另一个三角形完全重合。因此，重叠部分的面积为原来正方形面积的■，即4×4×■=4（平方厘米）。

■六、借理构造

有些数学问题运用该类问题的常规思路解答比较难，但运用非本类问题的思路方法常常能够解答。教学中，教师要引导学生发挥自己的数学想象力，应用相关知识解决实际问题。在构造的过程中，教师要引导学生说理，说构造之理。不难看出，数学构造是一种创造性的思维活动，它要求学生在自己已有知识经验和数学问题之间建立通路、回路。要增强学生数学构造的自觉性，提高学生数学构造的能力。

例6：南京市北京路小学健美操興趣小组一共有13名同学，试证明这13名同学中至少有两位同学是同一个月出生的。

分析：这道题从文字表达上看好像是“年龄问题”，但题目中的问题却不是数学计算，而是证明，是证明就要展开说理。我们可以这样说：从最不利的情况出发，13名同学中，第一位同学假设是1月出生，第二位同学假设是2月出生……第12位同学假设是12月出生，在这12位同学中，每一位同学的出生月份都各不相同。而现在却有13名同学，这第13位同学无论出生在哪一个月份，都与前面十二位同学中的一位是同一个月出生的。其实，这道题的数学本质是“抽屉原理”，而运用抽屉原理的关键在于正确构造抽屉。在本题中，我们可以将一年的12个月看作12个抽屉，将13位同学看作13个物体。将13个物体放进12个抽屉中，必定有一个抽屉有两个物体，即至少有两位同学是同一个月出生的。

以上介绍了构造法在小学数学解题中的一些运用，我们从中能感受到数学“构造法”的精妙、神奇。教学中，如果教师能有意识地引导学生展开数学构造，让学生运用构造思想来展开数学学习，让学生对数学问题进行有意识地构造思考，那么就一定能提高学生的数学创新意识和实践能力。在这个过程中，学生将逐渐成长为一个数学意义上的创客！