浅析数列极限与函数极限的异同

游志林

摘要：极限、微分、积分、级数、函数的连续性等相关概念和性质是各大学师范院校数学基础课程《数学分析》中重点研究的内容，因其知识理论和方法已经渗透到自然科学、工程技术的各个领域，导致对社会的发展起着很重要的推进作用。其中极限的思想尤其重要，极限又包含数列极限和函数极限。因此，研究数列极限和函数极限的相同点和不同之处，对于学好高等数学起着很重要的意义。

关键词：数列极限；函数极限； 异同

引言：数列是一种特殊的函数，其特殊性在于其定义域是全体正整数集，故是不连续、是离散的变量；而函数的定义域一般是全体实数集，由实数的稠密性可知，该自变量是连续的。由于数列和函数之间的这种不同，就间接导致数列极限和函数极限也有所不同，本文是在参考华东师范大学数学系主编的教材《数学分析》第四版的基础上，列举出了几点关于数列极限和函数极限的异同之处。

1 数列极限

关于数列极限，先举一个我国古代关于数列的例子。《庄子—天下篇》中：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”其含义是：一根长为一尺的木棒，每天取下一半，这样的过程可以永远进行下去。不难看出，其通项{ }随着天数n的增大而无限地接近于0。在这一思想的指引下，教材给出了数列极限的精确定义：设 {An} 为数列，a 为定数，若对任给的正数 ε（无论它多么小），总存在正整数N，使得当 n>N 时，有 ∣An-a∣<ε ，则称数列{An} 收敛于a，定数 a 称为数列 {An} 的极限。其中ε的作用在于衡量数列通项{An} 与定数a的大小，ε越小，说明{An} 与a 的接近度越好。由于ε的任意性，可以小到任意小（但须大于0），故可以理解为数列通项{An} 无限地接近定数a；而N的作用在于不管给定多么小的正数ε，总能保证存在大于N后的每一项都和a无限接近，而不在乎前面有限项与a的接近程度，在于刻画n→+∞这一过程。其中，由于n是正整数，不可能取负值，故其趋近方式只有一种，即趋于+∞，但是极限值可以取实数R，故极限值有a、∞、+∞、—∞这4种值，因此，总的来说，数列极限只有4种类型。

2 函数极限

对于函数极限，先分析一下自变量x的趋近方式，由于x是取自全体实数，故趋近方式不仅有上述数列中所提及的+∞，还可以是∞、—∞，相比数列极限，更特殊的是还可以趋于某一点x0， 或者x0的左侧、右侧（即单侧极限）趋近。故自变量x的趋近方式共有6种，而极限值和数列极限完全一样，有4种。因此，函数极限共24种类型。比如，拿x→+∞，f（x）→a为例，其精确定义如下： 对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数M ，使得当x>M时有 |f（x）-a|<ε ，那么常数a就叫做函数f（x）当 x→+∞时的极限值。该定义和数列极限的定义有相同之处，其中的ε也是和数列极限中的ε相同，用于衡量f（x）与a的接近程度；正数M的作用也与数列极限定义中的N相类似，说明x充分大的程度，但这里考虑的是比M大的所有实数x，而不仅仅是数列极限中的正整数n，这是和数列极限定义中最本质的区别。

3 性质的异同

（1）由于极限存在则其值必唯一，故数列极限和函数极限如果存在，则极限值都是唯一的；

（2）如果数列极限存在，則它是有界的，而且是整体有界，即存在正数M，使得对一切正整数n有|An|≤M ；而函数极限如果存在，它也是有界的，可是这种有界性和数列的有界性不同，它是一种局部性，比如当x→+∞时，函数极限的局部有界性为表述为：即存在正数M，使得f（x）在x>M的领域上有|f（x）|≤M，这里强调的是局部性，而不管小于M的函数值是否有界，所以，函数极限的局部性质是和数列极限有着本质区别。同理，数列极限还有保不等式性、迫敛性、保号性，而函数极限则对应于局部保不等式性、局部迫敛性、局部保号性等性质；

（3）判别数列极限存在的方法有主要是单调有界定理和柯西收敛准则，这两大著名方法用于判断数列极限是否存在非常有用。在单调有界定理中，如果一个数列单调递增，而且存在上界，则该数列极限存在且极限值等于其上确界，同理，如果一个数列单调递减，且存在下界，则该数列极限存在且极限值等于其下确界。在柯西收敛准则中，反映的是这样一个事实：收敛数列各项的值越到后面，彼此越是接近，以至于后面的任意两项之差的绝对值可以小于事先给定的任意正数ε，柯西收敛准则相比单调有界定理的好处在于无需借助数列以外的数a，只需根据数列本身就能判别其敛散性。相比函数极限的存在条件，其中的柯西准则和数列的完全类似，而不同的是函数极限多了一种归结原则（海涅定理）。当然，这种方法我认为在实际应用中是不太现实的，因为收敛于x0的数列有很多，所以，我们不能一一去验证其极限值。通常用的最多的是它的推论：即找到一个收敛于x0的数列，函数极限值不存在或找到两个收敛于x0的数列，但这两个函数极限值不相等。这与判断数列极限是否存在的寻找子列的方法一样，可以说，这两种思路完全一样。当然函数极限也存在单调有界定理，该定理在函数表达中由于单调有增减变化，所以只能研究一侧，即只能研究单侧极限。其方法和数列极限相类似，只需稍做一些修改即可。

（4）数列极限和函数极限在应用上也有很多相似的地方，比如四则运算及其证明过程，平均收敛和几何收敛及其证明以及一些构造性方法，两者的思路十分相似，只需稍微改动即可。但是这里要强调一下，在使用洛必达法则的时候，如果遇到处理数列极限时，应该先转化为函数极限进行求解，然后再应用归结原则得出数列极限值，因为对于在数列极限形式下不能使用洛必达法则，原因是离散变量求导数是没有意义的，这一点必须特别注意。

总结：本文主要以华东师范大学数学系主编的第四版《数学分析》为例，列举了几个数列和函数极限的表示方法，从定义、性质、收敛条件、应用4方面浅谈了自己的一些看法，若有不妥的地方，恳切希望读者指出，我定给予修正。

参考文献：

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