例谈数列教学中数学思想的提炼与渗透

蒋文梅

摘 要：数列是我们中学数学的重点内容，也是历年考试考查的热点。在我们的数列教学过程中，如果能够挖掘、提炼教材本身蕴涵的数学思想，并有意识地对学生进行渗透，有着十分重要的意义。本文结合我的教学实践并以一些具体的试题为例，将几种重要的数学思想梳理总结。

关键词：高中数学；数列教学；数学思想

一、函数的思想

可以说，有数学的地方往往也就有函数，而等差、等比数列的通项公式，前 项和的公式都可看成正整数 的函数，因而数列问题往往可转化为函数问题来解答。

例1.等差数列的前 项和为30，前 项和为100，则它的前 项和为（ ）

A.130 B.170 C.210 D.260

分析：本题解法很多，但若由 ，这表明 是n的一次函数，从而由 、 、 三点共线，易得 故选（C）

二、方程的思想

解决数列问题的最常规思路就是利用各基本量 之间的关系，联立方程组求解。这种基本方法体现了方程的思想。

例2.设 是等差数列 的前 项和，已知 与 的等比中项为 ，而 与 的等差中项为1，求等差数列 的通项公式 .

分析：

由

故所求通项公式为： 或

说明：运用方程思想求解，有时会运算较繁，这就需要结合所联立方程（组）的特点，注意解方程（组）的技巧，等以达到求简、优化的目的。

注：函数与方程是高中数学的重点内容，它贯穿于数学教学的全过程，学会用函数与方程思想去认识和处理各种背景的数学问题，是高中学生必须具备的数学素养，也是历年高考热点。在教学中应摆在重要位置，加强训练。

三、对称的思想

等差（等比）数列的各项均具有对称性，如到首末两端等距离的两项的和（积）相等；项数和相同的两项的和（积）相等；有穷数列末项除外，从第2项起，每一项都是与它等距离的两项的等差（比）中项，等等。运用这种对称思想解题常会使解法来得简捷。

例3.设等差数列 的前 项和为 已知 指出 中，哪一个最大？并说明理由。

分析：由等差数列的对称性

知 是递减数列，故 最大。

说明：该题也可用函数的思想来获解，但不如上解利用对称的思想解决来得简捷而美妙！而且，这种对称思想本身就体现了数学的美，在数学教学中，提高学生理解和欣赏数学的美，可大大激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，提高学生的数学品位。

四、一般與特殊的思想

由于特殊情况包含于一般情况之中，所以凡一般情况下具有的性质，特殊情况下也应具有；而在特殊情况下不具备的性质，一般情况下也必不具备。运用这种一般与特殊的思想来指导解题常会收到意想不到的效果。

例4.设数列 公比不相等的两个等比数列， 证明：数列 不是等比数列

分析：据统计，多数考生仍然按证明一个数列不是等比数列的一般方法，去论证 （一般），殊不知，这样运算量大，变形也很复杂。事实上，只要论证 （特殊）就足以说明 不是等比数列。证明过程（略）。

五、分类讨论的思想

分类讨论思想是中学数学中最重要的数学思想之一，在数列的相关公式中也体现的较为充分。

例5.设等比数列 的前 项和为 若 ，求公比 .

分析：（1）当 时 ， ，而 ， 与题设矛盾，故

（2）

说明：许多考生遗漏了对“ ”的情形，造成“对而不全”，遇见字母要讨论的意识，即分类讨论的思想，必须给予强化，这不仅是解题的需要，也是训练学生思维周密性不可缺少的环节！

数列中蕴涵丰富的数学思想，它们是解题的指导思想，较之数学知识与技能，具有更高的层次。作为我们教师，不能只在高三复习中渗透数学思想，更重要的是要在高一、高二的平时教学中有意识地对学生进行潜移默化的熏陶。作为学生，在学习过程中，应逐步领悟数学思想的重要性，并自觉运用数学思想分析、解决问题，以增强自己运用数学思想的意识和能力。