基于高斯过程回归方法两相对流换热系数预测

任 婷，刘 厦，孙 杨，穆怀萍，刘 石

(1.华北电力大学 能源动力与机械工程学院，北京 102206;2. 华北电力大学 控制与计算机工程学院，北京 102206)

基于高斯过程回归方法两相对流换热系数预测

任 婷1，刘 厦2，孙 杨1，穆怀萍1，刘 石1

(1.华北电力大学 能源动力与机械工程学院，北京 102206;2. 华北电力大学 控制与计算机工程学院，北京 102206)

两相流经常发生在换热器中，其中气液两相流的换热特性在换热器的结构设计、材料选择和优化运行上起到了至关重要的作用。因此，在实际应用中需要获得两相对流换热系数。不同于常规的实验研究和数值计算方法，提出了一种利用实验数据和高斯过程回归(Gaussian Process Regression, GPR)相结合的方法快速预测两相对流换热系数。与其它方法的比较结果表明，GPR方法的预测精度高，预测结果与实验数据吻合较好；而且，该方法有利于减少实验次数和实验成本，节省原材料以及缩短设计周期，从而为研究气液两相流的换热特性提供一种有效方法。

气液两相流；预测方法；高斯过程回归

0 引 言

两相流经常发生在热能工程领域，例如换热器中存在气液、气固以及液固两相流。其中气液两相流在换热器中的应用最为广泛，包括单组分两相流如水/水蒸气和双组分两相流如空气/水。对于换热器来说，气液两相流的换热特性直接影响了换热器的结构设计、材料选择和优化运行。因此，在实际应用中，获得气液两相流的对流换热系数具有重要意义。

研究表明，两相流型是两相流的重要参数[1]，表示气相和液相的流动结构分布。因此两相流型影响了两相流对流换热系数。换热器中垂直管和水平管内的两相流型由于重力的作用其分类有所不同。垂直管中的两相流型主要有气泡流，弾状流，搅拌流，环状流和弥散流。对于水平管流，由于液相受到重力以及气相受到浮力的影响，两相流型主要有气泡流，层状流，波状流，塞状流，弾状流以及环状流。

国内外研究者对气液两相流的换热特性进行了大量研究。Malhotra等[2]实验研究了水平管、倾斜2°、5°、7°的圆形管中气液两相流的弾状流的热传递特性。Saisorn等[3]实验研究了在平行矩形微通道里恒定热流条件下非沸腾气液两相流的热量传递和流动特性。Deen等[4]利用流体体积函数法建立了在壁面和离散气液两相流体之间传热的直接数值模拟模型，并且计算出在给定温度条件下的壁面和流体之间的局部和表面平均换热系数。利用计算流体动力学的方法，Azari等[5]研究了圆管内Al2O3/水纳米流的层流对流换热系数。在数值计算中，采用两相模型计算在均匀恒定的热流量下圆管内的纳米流的对流换热系数，其结果与实验吻合较好。Barraza等[6]利用Granryd关联式预测了小尺寸通道内非共沸多成分混合物的热传递系数，计算过程中考虑到热流量、质量流量、压力、管径、混合物成分等因素，预测相对误差低于25%。

以上文献可看出，研究两相对流换热系数的方法主要有实验研究和数值计算。但是，实验方法和数值计算时间成本高，一个直接的问题是：有没有一种方法可以快速的预测两相对流换热系数呢？为了实现这一目标，本文提出一种利用实验数据和高斯过程回归(GaussianProcessRegression,GPR)相结合的方法快速预测两相对流换热系数。本文研究内容总结如下：

(1) 不同于常规的实验研究和数值方法，本文提出利用GPR方法快速预测两相对流换热系数，为换热器的优化设计、材料选择提供依据。

(2) 数值比较了极限学习机、BP神经网络、Elman神经网络、RBF神经网络方法以及GPR方法对两相对流换热系数的预测性能，结果证明了GPR方法的可行性与有效性。

1 高斯过程回归

根据上述讨论可知，获得气液两相对流换热系数在实际应用中具有重要意义。不同于常规的数值计算和实验方法，本文提出一种利用实验数据和GPR模型快速预测两相对流换热系数的方法。

在应用GPR方法预测两相对流换热系数之前，首先要确定模型的输入和输出样本。研究表明，管内气液两相流的重要参数包括气体和液体的质量流量比、气体和液体的雷诺数、流型、管壁表面的热流量、管子的倾斜角度、压降等决定了气液两相对流换热系数。其中气体和液体的雷诺数决定了两相流型，因此直接影响了气液两相对流换热系数。两相流所在管子的倾斜角度也对两相对流换热系数有影响。根据上述讨论和参考文献[7]的研究，本文选取气体和液体的雷诺数，管子的倾斜角度为GPR模型的输入样本，两相对流换热系数为输出样本。在实际应用中，管内气液两相流的其他重要参数包括气体和液体的质量流量比、管壁表面的热流量、压降等也会影响气液两相对流换热系数。在本文中，采用GPR方法预测两相对流换热系数时，输入样本的维度不受限制，也可在预测过程中包含上述参数。在未来研究中，我们将增加气体和液体的质量流量比等参数作为输入样本来预测两相流对流换热系数，并深入研究这些参数对预测结果的影响机制。

1.1 预测

(1)

式中：m(x)为均值函数、K(x,x′)为协方差函数如下式：

考虑到实际中测量目标常常包含噪声，即高斯噪声模型为

(2)

(3)

式中：I为n阶单位矩阵。

由式(3)得出训练样本输出值y和预测样本输出值y*的联合先验分布为

(4)

式中：K(X,X)=Kn=(kij)为n×n阶对称正定的协方差矩阵，其任意项kij=k(xi,xj)度量xi和xj之间的相关性；K(X,x*)=K(x*,X)T为预测样本x*与训练样本X之间的n×1 阶协方差矩阵；K(x*,x*)为预测样本x*自身的协方差；I为n阶单位矩阵。

在给定预测样本x*和训练集D的条件下，计算出预测样本y*的后验概率分布为

(5)

1.2 训练

GPR方法中协方差函数K是正定的，且是一个必须满足Mercer条件的对称函数，故协方差函数等价于核函数。常用的协方差函数为平方指数函数，考虑有噪声的形式为

(6)

(7)

式(7)对超参数θ求偏导，可得

(8)

从上述的讨论可看出，在实际的应用中，采用恰当的最优化方法求解方程(7)即可获得最优超参数θ，然后利用式(5)得到预测样本x*相应的预测值y*的均值和方差。

2 基于高斯过程回归的对流换热系数预测

不同于常规的数值计算和实验方法，本文提出一种利用实验数据和GPR模型相结合的快速预测两相对流换热系数的方法。根据上述的讨论可知，采用GPR方法预测两相对流换热系数的过程可总结为图1。

图1 流程图Fig.1 Flow chart

相比于常规的实验和数值模拟方法，采用GPR方法预测对流换热系数具有如下的特点：

(1) 不同于常规的实验方法需要较高的实验成本和时间，GPR方法能够有效地减少实验次数，降低实验成本，减少实验周期；

(2) 不同于常规的数值模拟方法需要求解复杂的控制方程，GPR方法的计算复杂性相对较低，求解速度较快，有利于实际的工程应用；

(3)GPR方法能够有效地利用过去的测量结果与数值模拟信息。而且，GPR方法具有处理高维数、小样本和非线性等复杂回归问题的能力，非常适合于两相对流换热系数的预测。

3 数值实验

由以上讨论可知，由于实验研究和数值计算时间成本高，实际应用中需要快速获得换热器中两相对流换热系数。本文利用GPR方法实现这一目标，分别研究水平管以及管子倾斜角度为2°，5°和7°的弾状流型和弾状流/气泡流/环状流型下的对流换热系数。其中，气体雷诺数、液体雷诺数和管子的倾斜角度影响了两相流的换热特性。因此，上述三个因素为本文输入变量，两相对流换热系数为输出变量。

同时，本节采用极限学习机、BP神经网络、Elman神经网络以及RBF神经网络的方法预测两相对流换热系数，并将其结果与GPR方法获得的结果进行对比。在利用上述方法预测换热器中两相对流换热系数时，本文首先对数据进行归一化处理。本文采用平均相对误差(Meanrelativeerror,MRE)作为评价这5种方法的准则，其可具体表达为[12]

(9)

式中：n是预测样本的个数；Tt为实验数据；Tp为预测值。

在预测之前，首先介绍上述4种方法的基本原理。极限学习机为单隐层神经网络，网络输入层到隐层的连接权值和隐层单元的阈值随机确定，并且在训练过程中无需调整，只需确定隐层单元数即可[13]。人工神经网络(ArtificialNeuralNetwork,ANN)在一定程度上模仿了复杂的人脑神经系统对信息储存、处理等功能[14]。BP神经网络、Elman神经网络以及RBF神经网络都属于人工神经网络。其中，BP神经网络的学习过程由数据的正向传播和误差的反向传播两个过程组成。信号的传播过程也是各层权值调整过程，训练一直进行到实际输出误差在精度范围以内，或网络训练达到预先设定的学习次数，则建模结束[15，16]。与BP神经网络不同，Elman神经网络是一种从输出到输入具有反馈连接的网络，其具有关联层，即将上一个时刻的隐层状态连同当前时刻的网络输入一起作为隐层的输入，实现状态反馈[17]。RBF神经网络包括输入层，隐含层和输出层。其中隐含层是RBF网络中最重要的一层，其转换函数是局部响应的高斯函数[18，19]。本文采用MATLAB软件执行所有的算法。

3.1 算例一

本节的训练样本和预测样本来源于参考文献[2]中的实验数据。图2列出水平管以及管子倾斜角度为2°，5°和7°的弾状流型中128个实验数据，其中98个实验数据为训练样本，其余30个实验数据为预测样本。

图2 实验数据Fig.2 Experimental data

在预测两相对流换热系数过程中，为使得上述5种方法预测结果满意，本文采用算法的参数设置如下：在GPR方法中，基于训练样本，超参数θ通过求解式(7)而获得，具体为0.339 8，0.596 1，0.011 2。极限学习机为单隐层神经网络，隐层单元个数是38，激活函数为sigmoid函数。BP神经网络采用三层网络结构，隐层单元数为8，训练算法为Levenberg-Marquardt算法。Elman神经网络的网络结构为三层，其中隐层单元数为20，采用Levenberg-Marquardt算法训练网络结构。RBF神经网络的扩展速度设为1。图3～7是GPR、极限学习机、BP神经网络、Elman神经网络和RBF神经网络的预测结果。为便于比较，表1列出了5种方法的MRE。

图3 GPR预测结果Fig.3 Prediction results of the GPR method

图4 极限学习机预测结果Fig.4 Prediction results of the extreme learning machine method

图5 BP神经网络预测结果Fig.5 Prediction results of the BP neural network method

图6 Elman神经网络预测结果Fig.6 Prediction results of the Elman neural network method

图7 RBF神经网络预测结果Fig.7 Prediction results of the RBF neural network method

表1 预测结果对比

图3～7列出GPR、极限学习机、BP神经网络、Elman神经网络和RBF神经网络对于30个预测样本的预测结果。在表一中，我们可以看出，5种预测方法的预测结果不同。这主要是因为，上述5种方法在预测两相对流换热系数过程中，实质是建立了输入样本和输出样本的复杂数学关系，因此不同的算法以及算法参数的设置直接了这种复杂的数学关系，进一步影响计算结果。从表1可看出，GPR方法的预测结果最好，即平均相对误差为1.18%。因此可得出，基于实验数据和GPR方法预测两相对流换热系数的方法可以获得满意的结果。

3.2 算例二

本算例采用参考文献[7]中的实验数据作为训练样本和预测样本。图8列出水平管以及倾斜角度为2°、5°和7°的换热管中弾状流/气泡流/环状流型的所有实验数据。所有的实验数据共计95个，其中69个实验数据是训练样本，其余26个实验数据是预测样本。

图8 实验数据Fig.8 Experimental data

在预测两相对流换热系数时，各方法的参数设置介绍如下：在GPR方法中，基于训练样本，超参数θ通过求解式(7)而获得，具体为1.292 8，3.041 5，0.035 1。极限学习机的隐层单元个数是20，选取sigmoid函数为激活函数。BP神经网络采用一个隐层的网络结构，其中隐层单元数为7，训练算法为Levenberg-Marquardt算法。Elman神经网络的网络结构与BP神经网络结构一样，其中隐层单元数为23，训练算法是Levenberg-Marquardt算法。对于RBF神经网络，设置其扩展速度为50。图9～13列出了GPR、极限学习机、BP神经网络、Elman神经网络和RBF神经网络的预测结果。表2列出了5种方法的平均相对误差的对比结果。

图9 GPR预测结果Fig.9 Prediction results of the GPR method

图10 极限学习机预测结果Fig.10 Prediction results of the extreme learning machine method

图11 BP神经网络预测结果Fig.11 Prediction results of the BP neural network method

图12 Elman神经网络预测结果Fig.12 Prediction results of the Elman neural network method

图13 RBF神经网络预测结果Fig.13 Prediction results of the RBF neural network method

表2 预测结果对比

图9～13中列出了GPR方法、极限学习机、BP神经网络、Elman神经网络和RBF神经网络预测26个样本时的相对误差。同时，表2列出了5种方法预测26个样本时的平均相对误差，其结果分别为1.32%、1.66%、2.24%、16.53%、1.72%。由此可看出，与其他方法相比，GPR方法的预测结果最好。主要是因为利用神经网络方法预测两相流对流换热系数时，网络结构直接影响了计算结果，而实际应用中，最佳网络结构不容易确定。为了在训练集上降低模型误差提高回归精度，预测时常常导致过拟合，并且泛化能力不佳。为了避免过拟合提升泛化性能，GPR方法以贝叶斯理论和统计学习理论为基础，对处理高维数、小样本、非线性等复杂的问题具有很好的适应性，且泛化能力强。与神经网络相比，GPR具有容易实现、超参数自适应获取等优点。上述比较结果表明，GPR方法可以用来预测两相对流换热系数。

4 结 论

热能工程领域中广泛存在着基于两相流的传热技术，如换热器中的气液两相流应用最为广泛。准确预测两相对流换热系数具有重要的实际意义。因此，不同于常规的数值计算和实验方法，为了缩短实验时间、减少设计周期以及节省实验成本，本文提出了利用实验数据和GPR方法快速预测气液两相对流换热系数，并将其预测结果与极限学习机、BP神经网络、Elman神经网络和RBF神经网络方法的预测结果进行比较。数值实验结果表明，在所有的比较工况中，GPR方法的平均相对误差最低，分别为1.18%和1.32%；证明了GPR方法能够用来预测两相对流换热系数，从而为计算气液两相对流换热系数提供一种有效方法。

研究表明，每种预测方法都有其优点和缺点。样本的数量与质量、预测模型以及模型参数等因素将影响预测质量。在实际的应用中，我们将依据具体的问题而选择相应的预测方法。我们的研究提供了一种预测气液两相对流换热系数的方法，未来还需要用更多的案例验证GPR方法的有效性与精度。

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Prediction of Two-phase Convective Heat Transfer Coefficient Based on Gaussian Process Regression Method

REN Ting1，LIU Sha2，SUN Yang1，MU Huaiping1，LIU Shi1

(1. School of Energy Power and Mechanical Engineering，North China Electric Power University, Beijing 102206, China；2. School of Control and Computer Engineering，North China Electric Power University, Beijing 102206, China)

Two-phase flow occurs frequently in heat exchangers, and the heat transfer performances of gas-liquid two-phase flow play an important role in the structure design, material selection and optimization operation of heat exchangers. As a result, it is desired to obtain the convective heat transfer coefficient of two-phase flows in real-world applications. Different from the common experimental investigations and numerical computation approaches, a method combing experimental data with the Gaussian process regression (GPR) method was proposed to quickly predict the two-phase convective heat transfer coefficient. Compared with other methods, the results show that the prediction accuracy of the GPR method is higher, and the prediction results fit with the experimental data. Moreover, the proposed method can effectively reduce the number and cost of the experiment, save the materials and shorten the design period, which provides an effective method for investigating the heat transfer performances of the gas-liquid two-phase flow.

gas-liquid two-phase flow; prediction method; Gaussian process regression

10.3969/j.ISSN.1007-2691.2017.02.14

2016-08-18.

国家自然科学基金资助项目(51206048, 51276059， 51576196)；高等学校学科创新引智计划(“111计划”)项目(B13009).

TK124

A

1007-2691(2017)02-0097-08

任婷(1985-)，女，博士研究生，主要从事太阳能光热发电与热工高性能数值模拟方面研究工作。