基于速度反馈控制的自激振动特性研究

冯 伟， 宋汉文

(同济大学 航空航天与力学学院，上海 200092)

基于速度反馈控制的自激振动特性研究

冯 伟， 宋汉文

(同济大学 航空航天与力学学院，上海 200092)

工程中自激振动常被作为不利因素而加以抑制，然而在振动能量捕获等振动利用研究中，自激振动也有振幅响应大、抗干扰能力强等优点，利用自激振动作为振动驱动将具有极大的优势。以悬臂梁为研究对象，通过模态参数与测点组合条件，导出了基于速度反馈控制下各阶模态的变化模式，得到了产生自激振动的数值判据，并对单模态进入自激振动以后的非线性极限环现象进行了讨论。通过理论建模、数值仿真和控制实验及数据处理，验证了该研究的正确性。

自激振动；反馈控制；模态分析；极限环

经典结构动力学主动控制领域的研究始于20世纪50年代，取得了丰富的研究成果[1]，广泛应用在航空航天、高速铁路、土木工程[2]等领域。主动控制的研究目的大多是基于减振降噪、使响应过程快速衰减或增加系统稳定性意义下的最优控制律的构造与实现问题。如通过对受电弓主动控制来抑制弓网耦合振动[3]，利用主动平衡解决高速转子的同步振动问题[4]、抑制噪声和振动提高可居住性、舒适性[5]等。而对于含控制结构的动力学特性研究不多见。对于流固耦合、干摩擦、转子动力学、气动弹性及伺服控制等复杂环境载荷激励下的一系列涉及自激振动的研究中，其数学、力学模型与主动控制是完全一致的，但其控制律却是非人工主动构建的、也是未知的。对于人为构建的主动控制结构，已有学者将主动控制应用到诸多方面[6-8]。高志远等[9]提出一种结合前馈自适应控制器和反馈自适应控制器的混合自适应振动主动控制方法；SERRAND等[10]提出了一种基于速度反馈的两通道隔振器，通过改变系统有效阻尼从而调整隔振效果。

在主动结构的研究过程中，张景绘等[11]针对主动结构的理论研究、定义概念和数值计算进行了奠基性的工作。MALAS等[12]进行了基于继电反馈的自激振动系统的理论建模与优化控制，刘海标等[13]研究了主动结构的控制律辨识，对基于非特定目的的主动控制行为，辨识来自环境控制的未知控制律。为自激振动的形成机理、参数辨识等研究提供支持。WARMINSKI等[14]研究了在自激振动和外部激励下非线性梁的主动振动控制，给出了负阻尼对结构的影响以及控制结构的参数。郑兆昌提出了关于线性和非线性系统内在的本质联系，揭示了高自由度线性振动和非线性振动都是以线性主模态呈现其运动规律。

本文研究基于速度反馈控制的自激振动特性。在自激振动系统中，激振力为系统动力学(位移、速度、加速度及应力应变等)的函数。通过对多自由度理论建模，探究自激振动产生的条件与控制方法，为自激振动利用与控制提供理论依据。

1 动力学模型

多自由度线性系统动力学方程为

(1)

(2)

(3)

1.1 动力学模型分析

设系统依质量归一化后的振型矩阵为[Φ]

{x(t)}=[Φ]{q(t)}

(4)

采用实模态假定，解耦后的动力学方程为

(5)

对于速度反馈增益矩阵[D]，不同测量点和控制点的选取会导致[D]中元素位置和大小的变化。一般地，讨论单测量点、单激励点模式，将系统中第j个测点上的速度响应反馈到第i个测点上。则

代入后，式(5)变为

对于系统中任一阶(第r阶)模态，其动力学方程为

(6)

由此，得到了模态方程， 右端为由系统各阶模态速度叠加而成的广义力。将右端激励中的第r项

移项至左端合并同类项。若fr取值合适，则会导致系统出现负阻尼，引起系统响应发散。整理后第r阶模态方程为

(7)

1.2 等效模态阻尼的取值区间与系统响应特征的关系

第r阶方程中的等效模态阻尼模态为

讨论系统仅有第r阶模态发散的情况。文献[15]指出，对于任一多自由度系统，在共振状态下，可以用起主导作用的各阶线性模态化为单自由度非线性系统，从而实施定性与定量分析。

本文采用单模态自激振动判据，系统中只有第r阶模态阻尼为负，系统将在第r阶模态发生发散性自激振动。同时其它阶模态都将是小阻尼的非共振受迫振动，其贡献相对第r阶可忽略不计。此时，第r阶模态起主导作用，系统振动可以简化为等效模态单自由度系统进行定性与定量分析。

1.3 系统单模态发散后的非线性响应特性

对于真实系统，一旦产生自激振动，系统将由于响应的逐渐增大而导致崩溃。但是，在随后的实验中观察到，当满足上述单模态自激振动判据2ξpωp/φipφjp>dij>2ξrωr/φirφjr时，系统响应增大到一定数值后，趋于一个稳定的极限环。在负阻尼条件下，随着系统响应的不断增大，此时系统以不再遵守微振动假设，其几何非线性特性不可忽略。考虑系统几何非线性阻尼，将该阶模态的动力学方程修正为

(8)

式中，b>0为三次非线性阻尼的系数，具体数值可由实验数据中拟合得到。

2 实验研究

考虑一个具有集中质量的不锈钢悬臂梁(见图1)。参数设置为：长l=30 cm、宽b=2.7 cm、厚度h=0.1 cm。密度ρ=7.9 g/cm3，E=209 GPa，均匀梁质量为0.064 kg，实验原理见图2。

图1 实验装置图Fig.1 Diagram of experimental setup

图2 实验原理图Fig.2 Diagram of experimental schematic

3.1 系统建模

将系统离散为6自由度模型，在3号测点布置一个集中质量30 g，同时将6个加速度传感器也视为集中质量考虑。刚度矩阵[K]由柔度矩阵求逆获得，阻尼矩阵[C]通过实测各阶模态阻尼比、固有频率和模态振型重构。求得系统的质量归一化阵型矩阵为[Φ]。

将上述系统及参数进行仿真计算，获得系统各阶固有频率、阻尼比(见表1)，特征向量矩阵等参数，模态振型见图3，由上述判据计算2ξrωr/φirφjr的数值汇于表2。

通过表2，获得了所有控制点与反馈点完备组合下的速度反馈控制规律，可以找到使任意一阶模态发散或收敛的最优控制位置；也可以在任意指定的控制及反馈测点下，预测每一阶模态的控制效果。值得特别指出的是，若取增益系数dij<0，上述发散和收敛特性将可互换，于是，表2中，取绝对值最小的组合配合dij的正负选择，将是最优的控制组合。

表1 仿真系统的模态参数

本文选择第2点控制、第6点反馈展开仿真和实验研究，取增益系数dij<0的负反馈控制模式，此时各阶2ξrωr/φirφjr见表3。仿真结果显示，第1阶、3阶、6阶模态阻尼将比控制前增大；取0>dij>-0.613 9，第2阶、4阶、5阶模态阻尼将比控制前模态阻尼为小(但尚保持正数)；若-0.631 9>dij>-3.506 0，可实现仅使第2阶模态响应发散，其余模态保持稳定。取dij=-1.5，仅对第2阶模态进行仿真，若取非线性阻尼系数b=0，系统将发散，经尝试，取非线性阻尼系数b=5.7。

图3 模态振型曲线Fig.3 Curve of mode shape

表2 2ξrωr/φirφjr的数值分布Tab.2 Value of 2ξrωr/φirφjr

表3 2ξrωr/φirφjr的数值分布

2.2 实验过程

首先通过模态分析测得的悬臂梁模态参数见表4。

表4 实验系统的模态参数

反馈作动器为压电陶瓷片，利用第6测点加速度响应通过积分方法其转换为速度信号，经功率放大后施加到第2测点位置进行作动。逐渐增大反馈信号的增益，使系统出现负阻尼导致发散的自激振动。

反馈点的实验与仿真见图4和图5，控制点实验响应见图6。

图4 反馈点实验响应图Fig.4 Response diagram of feedback point in experiment

图5 反馈点仿真响应图Fig.5 Response diagram of feedback point in simulation

图6 控制点仿真响应图Fig.6 Response diagram of control point in experiment

实验使用压电陶瓷片作动器，目前的技术无法测得其对系统的激励力(矩)信号，信号放大器及功率放大器的增益系数也无法精确获得。选取的仿真参数dij=-1.5,b=5.7，是经由实验数据多次试算匹配得到的。

当系统处于稳定的自激振动状态时，测取系统加速度信号。在实验中观测到系统从微幅振动开始到系统稳定，有如下特征(实验与仿真的振型对比见图7)：

1) 控制回路闭环时，施加初扰动，反馈增益较小时，系统在初始扰动下响应逐渐衰减，系统仍为正阻尼振动系统。

2) 逐次增大反馈增益，系统在初始扰动下振动响应逐渐增大；增益达到某一临界值后的一段区间内，系统响应趋于稳定，我们认为接近极限环，其振动波形与简谐力激励下的受迫振动相似。

3) 系统稳态振动时，其振动频率为30.85 Hz，接近系统第二阶固有频率32.75 Hz。

4) 系统稳定振动时，与第二阶固有振型相似。

图7 实验与仿真振型对比图Fig.7 Comparison diagram of experiment and simulation modes

5) 系统达到稳态极限环振动时，用外力强行阻止响应后再松开，在较短的时间内，系统可自动回到稳定运动状态，说明自激振动具有较强抗干扰能力和鲁棒性。

6) 继续增大反馈增益，系统响应增大较快，导致传感器脱落，实验中断。

3 结 论

本文研究了基于速度信号控制下系统响应模式和自激振动产生的条件，给出了反馈控制系统的动力学响应特征与反馈参数(参考点、激励点、增益)及系统模态参数(固有频率、阻尼比、振型系数)的关系与判据。利用该判据，在已知系统各阶模态参数的前提下，可以通过反馈控制来调整原系统的稳定性，设计并实现使原系统任意阶模态响应加速收敛或加速发散的最优控制位置和最佳增益。或者反过来，可以预测任意可行的参考点、激励点及增益组合下系统的动力学响应特性。通过仿真和实验对所提出的理论进行了验证。

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Characteristics of self-excited vibration based on speed feedback control

FENG Wei，SONG Hanwen

(School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Self-excited vibration is often suppressed as an unfavorable factor in many engineering fields. However, some special characteristics of self-exited vibration, such as, large amplitude response and strong anti-disturbances capability make it be an ideal driver for vibration utilization study, specifically, vibration energy harvesting. Herer, varying patterns of each mode and numerical criteria of self-excited vibration under control of velocity feedback were derived in studying cantilever beams with constraints of modal parameters and test points. One phenomenon, i.e., the nonlinear limit-cycle produced by a single mode self-exited vibration was discussed as well. The correctness of this study was verified with theoretical modeling, numerical simulation, control tests and data processing.

self-excited vibration; feedback control; modal analysis; limit cycle

国家自然科学基金面上项目(11272235)

2015-07-22 修改稿收到日期： 2016-02-14

冯伟 男，本科，1993年生

宋汉文 男，博士，教授，博士生导师，1961年生

TB53；O323；TB123

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.07.013