一种单自由度体系解析解及其在车桥动力分析中的应用

杜宪亭， 乔 宏， 夏 禾, 王少钦

(1. 北京交通大学 土木建筑工程学院，北京 100044；2. 北京建筑大学 理学院，北京 100044)

一种单自由度体系解析解及其在车桥动力分析中的应用

杜宪亭1， 乔 宏1， 夏 禾1, 王少钦2

(1. 北京交通大学 土木建筑工程学院，北京 100044；2. 北京建筑大学 理学院，北京 100044)

假定相邻时刻之间荷载线性变化，推导出低阻尼单自由度振动体系的解析解，在此基础上给出了相应的车桥动力相互作用系统建模及求解流程。系统模型分解为车辆、桥梁两个子系统，基于部件刚体假定和达朗贝尔原理推导车辆子系统运动方程，采用有限元法建立桥梁子系统模型；借助于振型叠加法将两个子系统运动方程解耦，车辆子系统非正交阻尼部分的影响以及两个子系统间的动力相互作用均按非线性虚拟力处理；以一节4轴客车匀速通过32 m简支梁为例，分别采用提出的解析解法、Newmark-β法以及高斯精细积分法进行动力分析。结果表明，相对于Newmark-β法和高斯精细积分法，解析解法不仅具有高精度特点，能显著提高计算收敛的积分步长，同时又能避免计算复杂的指数矩阵，具有良好的工程适用性。

车桥系统；动力相互作用；单自由度体系解析解；振型叠加法；非正交阻尼

随着铁路的迅猛发展，列车通过桥梁时所产生的动力相互作用问题成为了研究热点[1-3]。列车轮对与桥上钢轨之间的接触属于高度非线性问题的范畴，采用Newmark-β法、Wilson-θ法等经典数值积分方法求解时，需要很小的积分步长才能保证其收敛性[4-9]。计算效率是制约车桥动力相互作用分析发展的重要因素。

翟婉明提出的新型积分方法计算效率较高，在车-线-桥分析中得到了广泛应用，但是，该方法要求的积分步长极小。YANG等利用动力缩聚法，缩减了和车体相关的自由度，提高了Newmark-β方法的计算效率，但是该方法需要构造复杂的相互作用单元，使其应用受到了限制。张纯等利用Haar小波方法对车桥系统耦合振动问题进行了求解，发现Haar小波方法计算时间短、计算准确性高，但在其求解过程中需要将矩阵进行扩阶，计算过于复杂。杜宪亭等[10]综合精细积分法和高斯积分法特点，提出了一种适用于车桥耦合振动的预测-校正求解分析框架，能够显著提高分析效率，然而精细积分法涉及计算增维的指数矩阵，过程较为繁琐，并且时间步内运动插值的引入降低了分析的数值稳定性。因此，对于车桥动力相互作用分析而言，寻找更加高效的积分方法和相应的系统建模方法及求解策略具有重要的理论意义和工程价值。

本文基于时间步内荷载线性变化的假定，推导出单自由度低阻尼体系振动的解析解，在此基础上给出了相应的车桥动力相互作用系统建模及数值求解流程。将车桥动力相互作用系统模型分解为车辆、桥梁两个子系统，基于部件刚体假定和达朗贝尔原理推导车辆子系统运动方程，采用有限元法建立桥梁子系统模型。借助于振型叠加法将两个子系统运动方程解耦，车辆子系统非正交阻尼部分的影响以及两个子系统间的动力相互作用均为非线性虚拟力处理。最后，采用解析解法、Newmark-β法以及高斯精细积分法对一节4轴客车匀速通过32 m简支梁所构成的耦合系统进行动力分析，通过计算结果的对比验证所建议方法的可靠性。

1 低阻尼单自由度体系解析解

低阻尼单自由度体系运动方程为[11]

(1)

式中，q、ω、ξ、f、t分别为体系的位移、圆频率、阻尼比、外荷载、时间。

任意形式的荷载总是可以用有限数量的直线段去逼近。假定式(1)右端的荷载项在时间步[t,t+Δt]内线性变化，则有

(2)

式中：Δt为时间步长；下角标t+Δt为相邻时刻；t+τ为两相邻时刻之间的任一瞬间。

式(2)为典型的二阶常系数微分方程，相应的解由两部分组成

(3)

式中，上角标s、g分别为特解、通解。

式(1)对应的特征方程为

r2(t)+2ξωr+ω2=0

(4)

所对应的特征值为

(5)

0不是特征根，因此特解为

(6)

将式(6)代入式(1)，得到

(7)

由待定系数法得到

(8)

(9)

特征方程有一对共轭复根，则其通解为

(10)

因此，

qt+τ[c1cos(ωDτ)+c2sin(ωDτ)]·e-ωξτ+A·τ+B

(11)

(12)

c1=qt-B

(13)

(14)

取τ=Δt，得到矩阵形式的相邻时刻体系运动状态递推关系式

(15)

其中，

a11=e-ωξΔt·[cos(ωDΔt)+ωξsin(ωDΔt)/ωD]

(16)

a12=e-ωξΔt·sin(ωDΔt)/ωD

(17)

a21=-e-ωξΔt·sin(ωDΔt)·ω2/ωD

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

当式(2)基本假定成立时，应用解析解式(15)逐步求解低阻尼单自由度体系运动不会产生数值稳定性问题，即时间步长Δt的取值不受制于体系自身周期的影响，这与Newmark-β法等数值方法相比具有很大优势。将式(15)计算结果代入式(1)，可以得到体系对应的加速度。

2 车桥动力相互作用系统建模

列车通过桥梁时引起结构振动，而桥梁振动又反作用于列车，两者构成了一个相互作用的非线性耦合振动系统见图1。

图1 列车通过桥梁Fig.1 A vehicle passing through a bridge

将车桥动力相互作用系统分解为桥梁、车辆两个子系统。依据有限元法，矩阵形式的系统运动微分方程为

(24)

(25)

式中：上角标B、V分别代表桥梁、车辆子系统；FVV为车辆内部构件，如抗蛇行减振器等，产生的非线性作用力；而FVB、FBV为两子系统间的动力相互作用，反映的是系统间力及位移的协调关系，可以通过耦合系统运动的线性或非线性函数表达，在后继分析中可以作为非线性虚拟力处理。

显然，式(24)、式(25) 不能直接采用式(15)求解。

铁路桥梁通常由基础、墩台、支座、梁体和桥面系等部件组成，可以采用梁单元、杆单元、刚臂单元、板单元、实体单元、弹簧单元以及质量单元等建立其有限元模型。其中，阻尼矩阵cB可以借助Rayleigh阻尼假定确定。

采用标准模态变换

(26a)

(26b)

采用式(26)对式(24)进行坐标变换及正交化处理，得到

(27)

在精度达到分析要求的前提下，通常引入如下假定对车辆子系统进行简化：①列车在桥梁行驶时间较短，忽略速度波动对动力系统的影响；②车辆由车体、转向架、轮对等刚体部件组成，且各组成部件之间通过一系和二系弹簧、阻尼器相联；③车辆横、竖向振动与车辆纵向振动可以分开考虑，前者对桥梁振动其控制作用。借助于达朗贝尔原理可以推导出每节车的独立运动方程。因此，式(25)可以进一步写为

(28)

式中：l为通过车辆的节数；mV,j通常为对角阵。

式(28)不能直接应用振型叠加法，这是由于车辆的阻尼矩阵关于振型并不正交。将方程左侧阻尼矩阵力移动至方程的右侧作为虚拟力，同时引入等效阻尼比的概念，再借助于振型叠加法得到

(29)

等效阻尼比可参考桥梁子系统取值，也可采用式(30)确定

(30)

需要指出的是，采用轮轨非密贴模型时车辆处于自由运动状态，存在零频率和刚体模态，在模态求解时需要引入移轴技术，这可以借于Matlab等软件。在后继分析中需要剔除刚体模态的影响。

3 求解流程

如前所述，在进行数值求解之前需要完成以下数据准备工作：

1) 确定分析的列车运行速度以及时间步长；

2)采用有限元分析软件建立桥梁分析模型，提取结构的频率、振型，计算或假定模态阻尼比，计算各阶的运动状态递推系数；

3)利用Matlab软件的符号推导功能推导车辆运动方程，提取车辆频率、振型、计算等效阻尼比，计算车辆的各阶运动状态递推系数；

4)输入系统激励——轨道不平顺；

5)确定车辆、桥梁子系统的初始振动状态。

为了便于程序编制，将式(15)展开得到

(31a)

(31b)

从式(31)可知，t+Δt时刻运动状态由两项组成：一项是t时刻运动状态及外力的贡献；二项是t+Δt时刻外力的贡献。

式(27)、式(29)构成了等效的车桥动力相互作用系统运动方程组，可以应用式(31)进行逐步求解。在给定t时刻动力相互作用系统状态的条件下，迭代法计算t+Δt时刻系统响应的步骤见图2。其中，判别计算收敛的条件为在迭代过程中桥梁、车辆子系统的力、位移向量的范数变化趋于稳定。

‖Fi-Fi-1‖≤E·‖Fi-1‖

(32)

‖ui-ui-1‖≤E·‖ui-1‖

(33)

式中：上角标i、i-1为时间步内两次临近的迭代;E为给定的相对容差，通常可以取为10-6。

图2 逐步迭代求解流程Fig.2 Step-by-step iteration solution procedure

依据上述步骤编制分析程序。

4 算例分析

选取一节客车匀速通过简支梁作为分析对象，其中车辆参数、桥梁参数、轮轨关系、分析车速均与文献[10]一致。为验证解析解法的有效性，增加了与基于Newmark-β法、高斯精细积分法迭代求解结果的对比。其中，计算得到车辆子系统的各阶频率及等效阻尼比见表1。

表1 车辆各阶频率及等效阻尼比

选取简支梁跨中竖向加速度、车辆第一轮对竖向加速度作为分析项目。图3、图4显示了积分时间步长Δt=10-4s时三种方法求解的结果。

图3 跨中竖向加速度时程(Δt=10-4 s)Fig.3 Acceleration time history of bridge at mid-span(Δt=10-4 s)

图4 轮对竖向加速度时程(Δt=10-4 s)Fig.4 Vertical acceleration time history of wheel-set(Δt=10-4 s)

从对比情况可知：对桥梁振动情况而言，三种方法计算基本一致；就轮对振动情况而言，解析解法与Newmark-β法、高斯精细积分法略有差异，这是由于车辆引入振型叠加法所致。

图5、图6显示了在积分步长增大到5倍，即Δt=5×10-4s条件下，三种方法求解的结果。从对比情况可以看出，在积分步长较大时高斯精细积分和解析解法依然能够得到与原积分步长一致的结果，Newmark-β法计算结果已经发散。

图5 桥梁跨中竖向加速度时程(Δt=5×10-4 s)Fig.5 Acceleration time history of bridge at mid-span (Δt=5×10-4 s)

图6 轮对竖向加速度时程(Δt=5×10-4 s)Fig.6 Acceleration time history of wheel-set (Δt=5×10-4 s)

通过对比发现，与采用Newmark-β法相比较，在积分步长较大时高斯精细积分和解析解法依然能够得到与原积分步长一致的结果。

5 结 论

依据上述理论分析和算例计算结果，可以得出如下结论：

(1)相对于Newmark-β法，解析解法和高斯精细积分法具有求解精度高的特点，求解车桥耦合问题时可以采用较大的积分步长。

(2)相对于高斯精细积分法，解析解法避免了指数矩阵的复杂运算。

本文提出的分析方法可以应用到实际工程中。

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Analytical solution to a sdof system and its application in dynamic analysisof a train-bridge system

DU Xianting1, QIAO Hong1, XIA He1, WANG Shaoqin2

(1. School of Civil Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China;2. School of Science, Beijing University of Civil Engineering and Architecture, Beijing 100044, China)

With the assumption that a load varies linearly within each time step, an analytical solution was derived for a single-degree-of-freedom(SDOF) vibration system with low damping. Based on this solution, the modeling of a train-bridge system and its solving procedure were deduced. The train-bridge system model consisted of a train subsystem and a bridge one. The motion equation of the train subsystem was derived using the rigid component assumption and D′Alembert’s principle, and that of the bridge subsystem was derived using the finite element method. The mode superposition method was applied to uncouple the equations of motion of the two subsystems. The effects of the non-orthogonal damping of the train subsystem and the dynamic interaction between two subsystems were treated as nonlinear virtual forces. A 4-axle vehicle passing through a simply-supported beam of 32 m span at a constant speed was taken as a case study. The dynamic analysis of the coupled system was performed using the proposed analytical method, Newmark-βmethod and Gauss precise integration method, respectively. The results showed that compared with Newmark-βmethod and Gauss precise integration method, the analytical method can not only improve the time step of numerical integration but also avoid the computation of complex exponential matrices, so it has a good applicability in engineering.

train-bridge system; dynamic interaction; analytical solution to a single-degree-of-freedom system; mode superposition method; non-orthogonal damping

973计划(2013CB036203)；中央高校基本科研业务费专项资金资助(2014JBM092)

2015-10-27 修改稿收到日期：2016-02-14

杜宪亭 男，博士，副教授， 1978年生

U24

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.07.006