巧用数列模型解决银行贷款问题

许惠芳

【摘要】分期付款在今天的生活中，应用日趋普遍，关于分期付款及其相关的知识触及社会的方方面面，有银行、购房、保险、基金等.可见，花明天的钱来圆今天的梦，已经是一种相当普遍的生活方式了.那么对于贷款的利息、还贷期限、还款金额等又是如何计算的？通过学习，使学生能够了解银行还款中的有关知识，能够应用数学模型解决还款中的有关问题.

【关键词】模型；分期；贷款；利息

数学家华罗庚曾说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日月之繁，无处不用数学.”这是对生活与数学关系的精彩描述.

当今，随着人们生活水平的提高，大家的消费观念也发生了转变，分期付款、贷款购物已深入我们的生活中，不再生疏.分期付款方式在今天的商业活动中应用日趋广泛，你可以贷款买房，贷款买车，贷款创业；助学贷款，旅游贷款，甚至还可以贷款买手机、电视、电脑等小物件.可见，花明天的钱来圆今天的梦，已经是一种相当普遍的生活方式了.那么对于贷款的利息、还贷期限、还款金额等又是如何计算的？笔者通过一节“等比数列应用举例”（高等教育出版社出版的数学基础模块下册第六章第三节课内容）中的一个实例研究一下分期付款中的有关计算，建立数列模型，从而解决实际问题.

一、经历建模过程，感悟数学模型

（一）创设问题感悟模型

例：银行贷款一般采用“复利计息法”计算利息.小王从银行贷款20万元，年利率为5.76%，

贷款期限为5年.

（1）如果要求5年后一次性还款，那么小王应偿还银行多少钱（精确到0.000 001万元）？

（2）如果要求以每年为一期，共分5期等额本息还款（即每期以相等的额度平均偿还本息），那么小王每年应偿还银行多少钱？

生1：什么是复利计息法？

师：复利计息法是指将前一期的本金与利息的和（也叫本利和）作为后一期的本金来计算利息的方法，俗称“利滚利”.但民间借贷“利滚利”是不受法律保护的.

下面先一起来完成第（1）小题.

师：贷款第1年后的本利和是多少？

生2：20+20×5.76%=20（1+0.0 576）=20×1.0 576.

师：很好！第2年开始的本金是多少？

生3：20×1.0 576.

师：第2年后的本利和是多少？

生4：20×1.0 576+20×1.0 576×5.76%=20×10 5762.

师：请大家认真观察第1年后和第2年后的本利和，并以此类推第3年后，第4年后，第5年后的本利和各是多少？

生5：20×1.0 5763，20×1.0 5764，20×1.0 5765.

师：回答得真棒！

师：观察以上每年后的本利和，它们可以组成什么数列？

生6：等比数列.

师：其通项公式是什么？

生7：通项公式为20×1.0 576n.

师：那本小题的最后结果是什么？

生8：由以上可得5年后一次性还款时小王应偿还银行的款数为26.462 886（万元）.

师：真棒！

师：下面请大家回顾一下在上学期学习的基础模块上册第四章学习过的指数模型.

生9：y=c·ax.其中c>0为常数，底a>0且当a>1时，叫作指数增长模型；当0

师：若令上题中的c=20万元，a=1+5.76%=1.0 576，x=5年，观察对比指数模型与刚才一次性还款的式子之间有关联吗？

学生通过观察对比惊喜地发现两者的结果一样.

师：对.若要算一次性还款数就可以用指数模型或等比数列通项公式模型进行计算.

师：其实在生活中应用较多的可能是分期付款还贷.分期付款还贷的模式基本有两种：一种是等额本金还款.即将本金分别摊派到每个月内，同时，付清上一个交易日至本次还款日之间的利息；另一种是等额本息还款.即按月等额归还贷款本息的方法.这种方法的优点是每个月还款的数额是固定的，借款人可以準确掌握每月的还款额，在消费收入固定的情况下，一般不会因为还款而感到过多压力，便于生活资金的安排，因而，得到广泛的应用.下面请一名同学上台板演第（2）小题.

生10：设小王每次应偿还银行a万元，则

第1次还款a万元，已还款数为a（万元）；

第2次还款a万元，已还款数为a+a（1+5.76%）（万元）；

第3次还款a万元，已还款数为a+a（1+5.76%）+a（1+5.76%）2（万元）；

第4次还款a万元，已还款数为a+a（1+5.76%）+a（1+5.76%）2+a（1+5.76%）3（万元）；

第5次还款a万元，已还款数为a+a（1+5.76%）+a（1+5.76%）2+a（1+5.76%）3+a（1+5.76%）4（万元）.

（此时学生卡在这，无法算出a.）

师：由于第5次将款还清，贷款总额本息=每期所还款本息的总和，所以为20×1.0 5765（万元），a=4.716 971（万元）.

师：以上这类问题为等额本息分期付款模型，若设贷款本金为A，等额本息还款中每期还款金额为a，还款期数为n，每期利率为i，则能否得出贷款本息分期付款中每期偿还本息的公式？

生11：a=Ai（1+i）n（1+i）n-1.

师：真棒！本例中采用等额本息分期付款的方式总共应付银行多少钱？

生12：4.716 975×5=23.5 849（万元）.

师：对比一次性还款，哪种更省钱？省多少钱？

生：分期付款比到期一次性付款更省钱，节省了约2898万元.

师：若上例中小王采用每月为一期的等额本息还款方式，则月利率和还款期数各为多少？

生13：月利率=年利率÷12=0.48%，还款期数为60.

师：很好！请大家利用上述的模型，算下小王每月需要还款的金额数.

生14：a=0.384 428（万元）.

师：真棒！

（二）巩固模型拓展延伸

问题1：小马购买一个售价为5 600元的手机，先付2 600元，剩余的3 000元，采用分期付款的办法，即购买后一个月第1次付款，再过一个月第2次付款，以此类推，需共付款6次后还清且每期付款数一样，如果按月利率048%，每月利息按复利计算（上月利息要计入下月本金），那么每期应付款多少？（精确到0.1元）

思考1：小马每次付款额会是3 000÷6=500（元）吗？

生15：显然不是，而会偏高.

师：那么分期付款总额就会高于手机售价，是什么引起的呢？

生16：利息.

思考2：小马每次付款额会是3 000（1+0.48%）6÷6吗？

生17：不是，而会偏低.

生18：由等额本息分期付款模型可得，每期应付款a=508.4（元）.

问题2：小李计划采用等额本息分期付款的方式购买一台售价为4 000元的笔记本电脑，年利率为5.76%，三年还清贷款，问每月需要付多少贷款？

生：由已知，月利率i=5.76%÷12=0.48%，还款期数n=3×12=36.

由等额本息分期付款模型可得，每月需要还款a=1213（元）.

问题3：某人想每月从自己的工资中拿出一笔固定的钱存入银行，作为自己3年后的创业基金，共需8万元，则他从现在起每月应存多少钱才能达到自己目标呢？

设计意图：问题1和问题2是巩固例题所学的内容，学以致用.问题3作为延伸题，不仅加深了学生对于数学建模过程的理解与掌握，而且让其感受到了积跬步至千里的强大魅力，鼓励我们职高学子应有属于自己的目标并坚持不懈地努力，相信总有一天会有属于自己的成功.

自2015年10月24日央行降息后，人民币贷款基准利率执行标准为下表.

贷款期限年利率

六个月以内（含6个月）

贷款4.35

公积金2.75

六个月至一年（含1年）

贷款4.35

公积金2.75

一至三年（含3年）

贷款4.75

公积金2.75

三至五年（含5年）

贷款4.75

公积金2.75

五年以上贷款

贷款4.90

公积金3.25

师：随着中央财政政策的积极推行，购置房地产按揭贷款（公积金贷款）制度的推出，极大地刺激了人们的消费欲望，而按揭贷款（公积金贷款）中都实行按月等额还本付息，这个等额数就可以应用今天所学习的等额本息分期付款模型进行解决.当然，如今银行为方便客户，一般都有详细的按揭还款额的清单，若哪位同学家中有分期付款或将来可能会贷款的，可以用今天所学的知识对应进行校对或参考.

二、课后反思

分期付款在今天的生活中，应用日趋普遍，关于分期付款及其相关的知识触及社会的方方面面，有银行、购房、保险、基金等.本节课首先从贷款问题入手，从学生的生活实践中提取问题背景，使问题更生活化，充分调动学生参与、探求的学习欲望.在例题中先理解“复利计息法”，将实际问题数学化，采用数列建模，通過逐年计算还款数来理解，这是学生容易接受的，数学具有“从具体情境上升为一般的概念和结论，又从一般返回到具体情形加以印证和应用”的特性.

通过本节课的学习，使学生能够了解银行还款中的有关知识，能够应用数学模型解决还款中的有关问题，提高学生解决问题能力，同时，让学生参与数学建模过程，应用模型解决实际问题，通过对方法的总结、归纳，让学生感知、体验模型思想的过程，从中感受生活中的数学模型，领会数学知识的运用.使学生在解决问题的过程中得到用数学、学数学的实际体验，加深对知识的掌握和理解，感受到生活中处处都有数学，离不开数学，加强学生对数学学习的自信心.

虽然中职生的数学基础普遍较为薄弱，数学兴趣不浓，计算能力较弱，独立分析、解决能力有限，但这节课内容学生感觉就是自己生活中的例子，与自己息息相关，多数学生都愿意积极参与，积极思考表现自我，本节课笔者的授课对象分别为机电和计算机网络技术专业的学生，例题中的计算让学生采用计算器进行运算，因此，在课堂上绝大部分学生的兴趣都很高昂，整节课课堂气氛活跃，还有个别学生用课堂上的还款模型算出自己家里的按揭月供，并回家和父母进行校对，让学生经历借、贷款问题的计算过程，体会数学的应用价值，形成对数学的兴趣，培养学生处理数据技能和分析、解决问题的能力.

【参考文献】

[1]李广全，李尚志.数学基础模块·下册·修订版[M].北京：高等教育出版社，2013：17-19.