工科背景下的数学之美

彭振彪 张雅轩 李艳阳 李飞涛

【摘要】高等数学、复变函数与积分变换是电气工程及其自动化专业基础课电路、信号与系统、自动控制原理的数学基础，联系紧密.但在学生的实际学习中，这两类课程往往不能很好地衔接，使专业基础课的学习有一定困难.为此，本文就上述课程的知识模块进行系统梳理，有针对性地找到两类课程的内在联系，寻求数学思想方法在专业知识中的背景，挖掘专业知识技术中蕴含的数学思想，以达到两类课程融会贯通的效果.从而提高工科学生的数学素养，同时，使专业知识的掌握更容易、理解更深刻.

【关键词】傅立叶变换；拉普拉斯变换；信号与系统；自动控制原理；数学思想

【基金项目】本文受中国民航大学校级大学生创新创业项目（项目号：IECAUC2016014）的资助.

电路、信号与系统、自动控制原理是电气工程及其自动化专业的专业基础课，除包含一些专业领域的基本概念，其中涉及的专业知识与处理问题的方法大都以微分方程、傅立叶变换、拉普拉斯变换等数学知识为基础.

在学习数学基础课时，有学生感觉内容多、难度大、进度快，导致数学基础不够扎实，进而在后续学习专业基础课时感到吃力.而从教学的角度，专业基础课教师的教学重点是新的专业知识，不能花费过多时间复习数学基本概念与方法.这些衔接上的问题，使部分学生不易接受突然出现的数学知识的应用，对专业基础课产生畏难情绪.对此，首先，本文对数学基础课和专业基础课的知识模块进行系统的梳理总结，数学知识主要包括微分方程、傅立叶变换、拉普拉斯变换及其关系，并分析它们的应用背景，以丰富数学基础课教学的应用性.然后，阐述专业基础课的内在联系，以帮助学生系统地把握专业基础课的知识内容.最后，用更高的数学观点（泛函分析）阐明专业知识中相关的数学方法，使学生对专业知识的数学原理有更深刻的认识.

一、微分方程求解在时域分析中的应用

专业基础课电路、信号与系统、自动控制原理的主要内容是对各类系统的性态的分析研究，大多以数学模型及其分析方法为基础，其中时域分析法的教学模型是高等数学中的微分方程：用微分方程描述系統，通过求出的解分析系统.因此，要熟练掌握时域分析法，就必须掌握求解微分方程的方法.常用方程及解法见《高等数学》下册第十二章[1].

时域分析法的优点是能够得到解的精确解析表达式，但缺点是求解过程比较烦琐，而系统的数学建模过程、频率特性、传递函数求取需要求解大量的微分方程，所以必须降低微分方程的求解难度，方法就是对微分方程作拉普拉斯变换.

二、拉普拉斯变换在系统分析中的应用

拉普拉斯变换的定义[2]是

F（s）=∫+∞0-f（t）e-stdt，是将自变量为时间的函数通过某种积分运算转化为自变量为复频率的函数.从数学角度看，它使复杂的运算转化为较简单的运算.比如，将微分转化为乘法，将积分转化为除法.将其应用于系统分析，因为它将微分方程转化为代数方程，从而达到了降低方程求解难度的目的[2].

（一）应用拉氏变换求解微分方程

具体解法如下：

第一步，求取微分方程中每一项的拉普拉斯变换，得到相应的代数方程；

第二步，求解代数方程；

第三步，对所求的解求取拉普拉斯反变换，得到原微分方程的解.

构成系统的元件的数学模型是时间域下的微分或积分表达式，通过拉普拉斯变换，可将其转化为复频域下的简单的代数表达式.然后相应地做出复频域中的等效电路图，这极大地简化了系统分析中的建模和求解.

下面列举几个典型元件的例子[3]：

下面以一个简单电路的分析为例[4]，表明拉普拉斯变换对系统建模、求解的简化.

例如图所示，已知输入为u1（t）=5cos2t，求输出u2（t）.

解第一步，根据上表，作复频域等效电路图：

第二步，根据等效电路图列出复频域下电路的代数方程：

U2（s）=U1（s）1s1+1s=1s+1×5ss2+4=-1s+1+s+4s2+4.

第三步，对U2（s）取拉普拉斯反变换得到时域下的响应表达式：

u2（t）=-e-t+cos2t+2sin2t，t≥0.

由此可见，拉普拉斯变换可以将时域下一些微分方程模型转化为复频域下简单的代数方程模型，使建模与求解得以简化.

（二）拉普拉斯变换在系统分析中的应用

对于常系数线性微分方程模型，方程的特征根就是解的表达式中各项的系数，它决定了系统的响应性能.好的响应性能需要合适的特征根，改变特征根可以通过改变特征方程的系数实现，而特征方程的系数就是系统中的参数.于是，可以通过改变系统参数，方程的阶不变，获取较好的系统性能.

在复频域中常用的分析方法是根轨迹法，即找到系统参数与特征根的关系，让随着参数变化的特征根轨迹在根平面上绘制出来，从中选择有好的响应性能的特征根，同时，确定对应的参数.

由于微分方程的特征方程恰是系统闭环传递函数的分母多项式对应的方程，特征根就是闭环传递函数的极点，而闭环传递函数定义就是系统输出拉普拉斯变换与输入拉普拉斯变换的比值.由此可见，拉普拉斯变换在系统分析中有着非常重要的作用.

三、傅立叶变换在系统频域中的应用

时域分析比较直观，但是分析高阶系统比较烦琐.用拉普拉斯变换分析系统，简化了时域下的求解过程，但是物理意义不十分明显.由于信号的输入与系统频率关系密切，所以频域分析是工程上进行系统分析和系统综合广泛采用的方法.频域分析法的优点是处理起来比较简洁，计算工作量较小，重要的是能够显示信号和系统的组成特性.但是，由于实际测得的是信号的时间历程，所以要采用频域分析法在频域下进行处理和分析，就必须先进行时域到频域的转换，而这种转换的数学方法就是傅立叶变换，所以需要应用复变函数与积分变换课程中的傅立叶变换知识，并建立其物理意义.

（一）傅立叶级数

一般地，如果周期信号fT（t）满足狄利克雷条件，则可利用傅立叶级数将周期信号展开成无穷多个（至多可数个）不同频率的谐波信号的线性叠加.即

fT（t）=∑∞n=0cnejnω0t，

其中cn=1T∫T0fT（t）e-jnω0tdt，ω0=2πT，称为基波角频率.

（二）傅立叶变换

对于非周期信号，在频域内对应的数学模型是连续的，此时若要将其分解成谐波信号的线性叠加，谐波信号有不可数个.数学上傅立叶级数需转化为傅立叶变换.

一般非周期信号f（t）的傅立叶变换为

F（jω）=∫+∞-∞f（t）e-jωtdt.

由此可见，时域下周期函数变换频域后的表达式是离散的傅立叶级数，而时域下非周期函数变换到频域后的表达式是连续的傅立叶变换，由此可得到工程上的一个重要结论：时域的周期性决定了频域的离散性.

应特别指出，单位阶跃信号的频谱，由于单位阶跃信号是时域下的典型信号，而且一般情况下可以将其他信号分解为不同加权的阶跃信号，根据线性时不变系统的齐次性和叠加原理，可以分別求出各个阶跃信号的响应，最后，将求出的响应进行叠加，因此，掌握阶跃信号的频谱显得尤为重要.

四、傅立叶变换与拉普拉斯变换的关系

拉普拉斯变换的积分核e-st中，s=σ+jω，当σ=0时，变换就退化为傅立叶变换.傅立叶变换要求函数满足狄利克雷条件，并且要绝对可积，但绝对可积条件较强，很多工程上常用的函数都不能满足这个条件，比如，单位冲激函数.为克服傅立叶变换的这个缺点，使频域分析适用于更多信号，在数学上，在积分核中加了一个衰减因子e-σt，得到另一种积分变换，即拉普拉斯变换.它们的关系示意图如下：

五、电路、信号与系统、自动控制原理三门课程的内在联系

电路除讲述一些电路上的基本概念外，主要介绍了对具体的电路模型，给一个电压或电流输入信号，根据电路相关知识求解该电路的响应的方法.信号与系统是对上述模型和方法的一般化，将电路模型抽象为一个系统，将电压或电流输入信号抽象为任意信号，分别在时域、频域和复频域下求解系统的响应和系统函数.在上述两门课程中学习系统响应的求解方法后，在自动控制原理[5]课程中根据求出的系统响应和系统函数来分析系统的稳定性、动态性能，并在时域、频域和复频域中分别寻求系统的最佳性能和进行系统校正.可以概括为“三域三分析”，“三域”分别是指时域、频域和复频域，“三分析”分别是指系统稳定性分析、系统稳态误差分析、系统动态性能分析.可以说电路和信号与系统是通过分析系统来认识系统，而自动控制原理是在学习改造系统，是符合我们认识事物过程的自然规律的.

六、泛函分析视角下理解工程问题解决方法

泛函分析是现代数学分析学分支的基石，下面从泛函分析的角度，更深入地理解专业知识和其中的数学方法，我们需要下面的概念[6].

设H是内积空间，E={en}是H中的规范正交基，x∈H.

（1）称每个（x，en）为x关于E的Fourier系数；

（2）称（形式）级数∑∞n=1（x，en）en为x关于E的Fourier级数；

（3）若x=∑∞n=1（x，en）en按H的范数收敛，称此级数为x关于E的Fourier展开式.

以傅立叶级数为例.设en=e-jnω0t，则{en}+∞n=-∞是Hilbert空间L2[0，2T]的一个规范正交基，则f∈L2[0，2T]，都有

f=∑+∞n=-∞（f，en）en.（*）

而空间L2[0，2π]上的内积定义是

（f，g）=1T∫T0f（t）g（t）dt，f，g∈L2[0，T]，

所以，

（f，en）=1T∫T0f（t）e-jnω0tdt=1T∫t 0+Tt0f（t）e-jnω0tdt=cn.

则由（*）得

f（t）=∑+∞n=-∞cnejnω0t，

这恰恰是傅立叶级数.

因此，从泛函分析的角度看，一个周期函数的傅立叶级数展开，就是将这个函数看成某个函数空间中的一个元素，并将其在该空间的一组规范正交基下进行展开，而傅立叶级数与傅立叶变换的区别只不过是离散和连续两种情况下的展开方式不同而已.同理，拉普拉斯变换和时域下的卷积也可以理解为函数分别在复频域和时域的情形中进行展开.那么这种数学思想在信号与系统分析中的实际意义在哪里呢？

我们以线性时不变系统为例来说明，在时域中，任意输入信号f（t）激励下线性时不变系统的响应为f（t）与系统冲激响应h（t）的卷积，它表明如果信号f（t）可以表示为冲激信号的积分，则该信号通过系统后产生的零状态响应yzs（t）就可以表示为这些冲激信号元产生的冲激响应的叠加.采用这种解决问题的思想是由于单位冲激响应的求解比较容易，所以如果将时域中的任意一个信号看成是出现在不同时刻、强度不同的微量冲激元函数的连续和，那么该函数作用下系统的响应就可以用展开后的冲激元信号分别作用于系统产生的冲激响应的累加得到，即做卷积.在频域中，由于正弦信号下系统的正弦稳态响应求解起来比较容易，所以将信号展开成无穷多个正弦信号的累加，那么系统在该信号下的响应就可以看成是展开后的正弦信号分别作用于该系统得到的正弦稳态响应的累加.

由以上分析我们可以看出，工程中的实际问题之所以可以采用这种方法解决，是由数学中经过严格推导或者证明的定理或者概念作为支撑的，所以数学思想是解决工程实际问题的核心；同样，掌握了数学中的一些重要思想，也使得工科专业课中解决实际问题的一些方法更容易被理解和接受，而在应用数学知识的过程中，也使得数学知识更好地被理解和掌握，这就是建立两类学科联系的意义所在.

【参考文献】

[1]同济大学应用数学系.高等数学·上、下册[M].第5版.北京：高等教育出版社，2002.

[2]张元林，编.工程数学·积分变换[M].北京：高等教育出版社，2012.

[3]邱关源，罗先觉，主编.电路[M].北京：高等教育出版社，2006.

[4]杨晓非，何丰，主编.信号与系统[M].北京：北京出版社，2014.

[5]任彦硕，主编.自动控制原理[M].北京：机械工业出版社，2007.

[6]刘培德，编著.泛函分析基础[M].北京：科学出版社，2005.