高等数学中极限概念教学的几点思考

王丽英+孙慧静+袁健

【摘要】极限是高等数学的理论基础，是步入高等数学殿堂的门槛，用它定义了微积分的基本概念，利用极限的思想方法给出了连续函数、导数、定积分、级数的敛散性等概念.文中分析了极限思想在高等数学教学中的作用及地位，结合教学实践，给出极限概念教学的几点意见.

【关键词】极限概念；极限思想；高等数学；教学

极限概念是微积分学的奠基概念之一，微积分中几乎所有的重要概念，如连续、导数、定积分、重积分、级数等定义都是建立在极限概念的基础上.极限概念是学习高等数学过程中遇到的第一个较难理解的概念，正确理解和掌握极限的概念和极限的思想方法是学好高等数学的关键，也是教学中的重点和难点.

一、极限概念学习困难的原因

（一）极限概念自身的特点

极限概念的形成，具有高度的抽象性、严密的逻辑性，学习这一概念时，需要用到原有的数学认知结构中的相关概念，进行正确的心理表征，以建立概念的逻辑运演.此外，极限概念的定义、逻辑结构较为复杂，符号较多，数量关系错综复杂，也导致学员很难掌握.

（二）学员的自身特点

对于刚步入军校的部分学员，思想还被高考的压力禁锢着，没有完全适应大学的学习方法和教员的教学方法，对数学的学习仍以解题为主，很少关注数学的思想方法，即主要精力在微积分的计算上，缺乏对概念本质的理解，存在一种对概念本质理解感到恐惧的心理特点.

二、极限概念教学

对极限概念及极限思想的掌握程度，直接影响着高等数学的学习效果，因此，在实际的教学过程中，为了帮助学员更好地掌握极限的概念，让学员能够更深层地理解极限的概念，我们可以从以下几个方面入手.

（一）贯穿数学史，激发学习兴趣

在授课过程中，我们经常会发现，如果只干巴巴地讲一些理论，会导致学员听起来索然无味，更有的学员会问：“教员，我们学这些有什么用？”

我们知道兴趣是最好的老师，只有让学员了解极限思想的发展脉络，才能提升学员的好奇心，培养学员学习极限的兴趣.极限思想作为一种哲学和数学思想，在其漫长曲折的演变历程中充满了众多哲学家、数学家们的奋斗足迹，闪烁着人类智慧的光芒.因此，教员在讲授极限概念之前，可适当介绍微积分的发展史、极限的萌芽、发展到完善的过程，让学员认识到极限在高等数学中的重要性.通过运用极限思想的具体例子，如刘徽《九章算术》记载的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”、战国时期《庄子.天下篇》惠施说的“一尺之棰，日取其半，万事不竭”等，引入极限的概念，激发学员的学习兴趣，使学员了解极限就是为了求解实际问题而产生的.同时，可以提示学员随后课程学习中曲边梯形的面积、曲线弧长、曲面体的体积等等均是利用极限的思想加以解决的，让学员充分了解极限在微积分中的地位与作用、感受极限的思想，引导学员在学习过程中，探索新的学习方法，为今后系统学习高等数学奠定良好基础.

（二）多种思维讲解极限概念

1.由直观性描述过渡到精确定义

极限概念由描述性定义到定量形式的转化，是教学中的关键和难点.在教学过程中可由特殊数列极限出发，一步步给出极限的ε-N定义，帮助学员理解极限的概念与思想.

2.具体实例帮助理解ε与N的二重性

ε与N的二重性是极限概念学习中的难点.ε具有绝对的任意性和相对的固定性，用于刻画数列中的项an与某一确定常数a的接近程度，可以是要多小有多小的正数，这是ε的本质特征.同时，当取定一个ε以后，它就具有了暂时的固定性，其目的是要依靠它来求出N，即N随ε的变化而变化，但N并不唯一.用定义证明极限时，我们倾向于找到最小的N，故在讲授时，结合具体实例加以说明，学员将会更加容易接受.

3.利用几何含义理解极限概念

著名数学家华罗庚先生曾经指出：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万分休.”“数”与“形”往往可以同构，也就是说数形结合可帮助我们深刻、全面地对概念加以理解.以数列极限的图形解释为例，通过在数轴上表示an与a的关系，以加深学生对极限概念的理解和掌握.

三、后续学习中体会极限的思想

极限思想贯穿高等数学的始终，在学习极限章节后的其他知识点时，有意识地引导学生体会极限思想，能帮助学生更深刻地体会极限思想，起到再次学习、巩固、升华学习效果的作用.

极限思想是高等数学学习中的重点、难点，教学过程中若有意识引导学生体会极限的思想方法，体会其在高等数学中的作用及重要性，通过恰当的教学方法帮助学生理解极限概念，以让学生更深入地掌握及理解高等数学的思想和方法.作者在文献资料和教学实践的基础上，提出了以上的关于极限概念教学的几点方法，希望对极限概念的教学工作有所裨益.

【参考文献】

[1]向彪.高等数学中极限定义教学的几点思考.黔南黔南民族师范学院学报，2012（4）：109-112.

[2]王华丽.高等数学中极限概念教学的思考.科技创新导报，2012（1）：133.

[3]同济大学应用数学系.高等數学[M].上海：同济大学出版社，2007.