正项级数敛散性判定方法的探讨

张辉+方晓峰+赵伟舟�お�

【摘要】本文研究一种判断正项级数敛散性的方法，并通过典型例题，说明如何判断正项级数敛散性.

【关键词】正项级数；收敛；发散

【基金項目】陕西省高等教育教学改革研究项目重点课题（编号：15BZ74）、陕西省教育厅专项科研计划项目（编号：16JK1696）资助.

对于正项级数审敛性的判定，教材[1]介绍了比较、比值、根值和极限审敛法等.而对于一些特殊正项级数的敛散性，如∑∞n=1∫πn0sin2017tetdt，采用上述方法很难解决甚至无法判断.本文介绍一种判定正项级数敛散性的方法，并举例说明巧妙利用此方法可以提高解题效率，达到事半功倍的效果.

定理1设f（x）在[0，1]上一阶可导，f（x）≥0，且f（x）在x=0点具有二阶右导数，则正项级数∑∞n=1f1n收敛的充分必要条件是f（0）=f′（0）=0.

证明必要性.若正项级数∑∞n=1f1n收敛，由收敛级数的必要条件得

综上所述，对于一些特定的正项级数，定理1给出了一种判断其敛散性简便有效的方法，望初学者能灵活使用.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学：下册[M].第7版.北京：高等教育出版社，2014：259-271.