小议数学概念教学

周军

摘要：数学概念是形成数学知识体系的基本要素，是数学知识的核心。数学概念教学是提高数学教学质量的关键，是引导学生进入新知识领域的台阶和基础，其教学地位不容忽视。

关键词：数学；概念；教学

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）02-0065

概念是最基本的思维形式。数学中的命题，都是由概念构成的，数学中的推理和证明，又是由命题构成的。因此，数学概念教学，是整个数学教学的重要环节。正确地理解数学概念，是掌握数学知识的前提，可见概念的重要性。初中阶段尤其是七年级，概念较多，怎样组织教学，才能使学生更好地掌握呢？下面，笔者就结合自己在概念教学中的一些尝试谈几点认识。

一、用归纳思维的方法引入概念

归纳是逐个研究某类事物而发现一般规律的思维过程，是人们认识事物、理解事物本质和掌握知识所不可缺少的。简单地说，归纳也就是从特殊到一般的过程，因此在已有知识基础上可用归纳法引出一般性概念。例如，在讲正负数概念时，可以从学生熟知的两个实例：温度与海拔高度引入，比0℃高5℃记作5℃，比0℃低5℃记作℃，比海平面高8848米，记作8848米，比海平面低155米记作米。由这两个实例很自然地把大于0的数叫做正数，把加“-”号的数叫做负数。这样引入正、负数，不仅有利于学生正确使用正、负数表示具有相反意义的量，而且还帮助学生理解有理数的大小性质。这种用归纳思维引入概念的方法符合学生的认识规律，有利于学生对概念的理解和掌握。

二、用变式教学加深对概念的理解，深挖概念

初中数学中需要学习的概念很多，因为内容相近致使学生在学习中容易发生混淆，而变式教学对学生学习数学知识、理解概念的本质特征、提高教学效果有现实意义。

例如：在学习一元二次方程的概念：“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程”时，笔者设计了一些针对这个概念的几个变式练习题。

例题：下列方程中，哪些是一元二次方程？

①10x2=9 ②x-2=0 ③2x2+3x-1=0 ④（x-1）（x+1）=x+x2

⑤t2+2t-1=0 ⑥ax2+bx+c=0 ⑦■-■=0

变式1：方程3xk+2-3x+5=0是关于x的一元二次方程，则k=

变式2：若关于x的一元二次方程（a-1）x2+ax+a2-1=0的一个根是0，则a的值是

通过以上的的变式训练，能够逐渐加深学生对一元二次方程的概念的理解，从而对一元二次方程概念所反映的本质特征有一个清晰的认识。

因此，通过相应的变式教学能够帮助学生抓住事物的本质特征，排除概念的无关特征，达到去伪存真的目的。在教学过程中，教师有意识地引导学生从“变化的过程”中發现“不变”的本质，从“不变”中寻找规律，以“不变”应“万变”，能够激发学生学习数学的兴趣，提高学生的数学创新思维。

三、巧用方法，激发兴趣，实现概念升华

为了帮助学生理解和掌握较抽象的概念，教师应采取多举实例，演示教具，绘制图形及运用通俗生动形象而富有感染力的语言等手段，给学生提供丰富的感性材料，使抽象问题具体化。这样，以恰当的演示直观材料给学生鲜明具体的表象，有利于学生思维能力的发展，有利于具体形象思维逐步向抽象思维的过渡，从而激发了学生的学习兴趣。因为兴趣往往是学生能力的最初显露，“是一些隐藏能力的信号”。教师的任务就在于发现这些能力，然后用以上方法就能有助于学生对定理、公式、概念等的理解与记忆，激发学生的学习主动性，为学生顺利掌握概念创造有利条件，达到化难为易、突破难点、掌握概念的目的。如在讲有理数这个概念时，由于正整数、零、负整数、正分数、负分数的全体都是有理数，这个概念的外延较大，并且六年级的学生抽象思维虽已有很大的发展，但经常还需要具体的感性经验作支持，基于这个特点可以把有理数比喻成一棵大树，把它的组成分别看成树叉和树根，如图：

这样，鲜明生动的形象比喻，容易吸引学生注意，激发学习热情，促进知识的理解与巩固。右图中教师只给出部分枝干，其余让学生自己动手完成，为培养学生动手实践能力奠定了基础，还激发了学生借助直观的形象进行广泛的联想，从而开拓了丰富的思维形象，发展了深刻的抽象思维以实现概念的升华。

四、用已定义概念类比得出新概念

数学中有些概念的内涵有相似之处，容易造成学生学习新概念时，常常受到与其相似或类同的旧知识的干扰。由于旧知识在学生头脑中已形成牢固的思维定式，在与之相近的新概念学习中很容易发生学习障碍。所以，在这类概念教学中，我们要充分运用分析、对比或类比的方法，引导学生全方位、多角度、多层次地认识新概念，使新概念的内涵突出地显示出来，划清“形似质异”或“形异质同”的新旧概念的界限，以利于形成深刻而清晰的认识，明了它们的区别与联系，从而得出新的概念。由于学生归纳总结的能力有限，有时很难独立完成对新旧概念的辨别与分析，这时教师可针对教材内容和学生特点设计问题，帮助他们实现新旧概念的过渡与衔接，形成概念学习的正迁移。如在通过等式概念类比得到不等式概念时，笔者通过下面三步逐渐引导学生掌握概念。

第一步：1. 什么是等式？2. 等式中“=”两侧的代数式能否交换？3. “=”是否有方向性？这样就复习巩固了等式的概念和性质。

第二步：再通过天平称物重的两个实例得到两个不等式和例举的几个如7>5，3+4<5+4，a≠0等不等式，并提问：（1）上述式子中有那些表示数量关系的符号？（2）这些符号表示什么关系？（3）这些符号两侧的代数式可以随意交换位置吗？（4）什么叫不等式？使学生了解到数量关系中有相等和不等两种情况并且初步认识了不等式。

第三步：类比总结出不等式的概念的同时，分清了不等式与等式的异同点：①等式用“=”连接，不等式用不等号连接。②“=”没有方向性，不等号具有方向性，因而不等号两侧不可能相互交换。

通过此种类比的方法，有利于提高学生归纳和分析问题的能力，又不会因问题太难或太简单而失去学习兴趣。这样，学生便能很好地掌握这类内容的结构特征及特点。

五、注重实际应用概念，对概念进行升华

学习数学概念的目的，就是用于实践。因此，要让学生通过实际操作掌握概念、升华概念。概念的获得是由个别到一般，概念的应用则是从一般到个别。学生掌握概念不是静止的，而是主动在头脑中进行积极思维的过程，它不仅能使已有知识再一次形象化、具体化，而且能使学生对概念的理解更全面、更深刻。

1. 多角度考查分析概念

例如：对一次函数概念的掌握，可通过下列练习：

①如果y=（m+3）x-5是关于x的一次函数，则m ；

②如果y=（m+3）x+4x-5是关于x的一次函数，则m ；

③如果y=（m+3）xm2-8+4x-5是關于x的一次函数，则m=

；

学生通过以上训练，对一次函数的概念及解析式一定会理解。

2. 对于容易混淆的概念做比较训练

例如，学生学习了矩形、菱形、正方形的概念以后，可做以下练习：

下列命题正确的是：

①四条边相等，并且四个角也相等的四边形是正方形。

②四个角相等，并且对角线互相垂直的四边形是正方形。

③对角线互相垂直平分的四边形是正方形。

④对角线互相垂直且相等的四边形是正方形。

⑤对角线互相垂直平分，且相等的四边形是正方形。

⑥对角线互相垂直，且相等的平行四边形是正方形。

⑦有一个角是直角，且一组邻边相等的四边形是正方形。

⑧有三个角是直角，且一组邻边相等的四边形是正方形。

⑨有一个角是直角，且一组邻边相等的平行四边形是正方形。

⑩有一个角是直角的菱形是正方形。

教师在设计练习的时候，对相似概念一定要抓住它们的联系和区别，通过练习使学生真正掌握它们的判定方法和相互关系。

3. 对个别概念，要从产生的根源考查

例如“分式方程的增根”的概念。可从产生的根源考查，教学时设计下列练习，让学生体会增根的概念：

①分式方程 =1的根是 。

②如果分式方程 = 有增根，则增根一定是 。

③当m= 时，分式方程 +2= 有增根。

所以，在概念教学和学习中一定要注意咬文嚼字，细品概念，抓住其本质特征，剔除非本质的因素，并根据学生的实际情况采取行之有效的方法，准确地揭示概念的内涵和外延，使学生深刻理解概念，从而达到在解决各类问题时灵活运用概念。

（作者单位：浙江省江山市坛石初中 324100）